Rectangle et cercles publié le 27/05/2008 - mis à jour le 21/10/2018
Séquence pédagogique utilisant les TICE d’après une idée de M. André CHAUVIERE, professeur de mathématiques au collège Supervielle de Bressuire.
- Niveau :
troisième. - Durée prévue :
1 h. - Prérequis :
caractérisation du triangle rectangle par son inscription dans un cercle ;
aire d’un rectangle ;
théorème de PYTHAGORE ;
théorème de THALES ;
notions de base d’un tableur. - Objectifs :
introduire la notion de fonction ;
introduire la notion de variation ;
s’approcher d’un maximum. - Apport des logiciels :
obtenir rapidement une représentation d’un problème, d’un concept afin de lui donner du sens et de favoriser son appropriation par l’élève ;
émettre des conjectures à partir d’une expérimentation interactive ;
relier les deux aspects algébrique et géométrique d’une même situation ;
se centrer davantage sur la mise en formules et l’analyse des résultats que sur les calculs pour obtenir les résultats.
- $(C)$ est un cercle de centre $O$ de diamètre $[AB]$ et de rayon $5$.
- $(C_1)$ est le cercle de centre $O_1$ sur $[AB]$ passant par $A$ et de rayon $2$.
- Le cercle $(C1)$ coupe $[AB]$ au point $I$.
- $M$ est un point du cercle $(C_1)$ distinct de $A$ et de $I$.
- La droite $(AM)$ coupe le cercle $(C)$ au point $N$.
- $(d_1)$ est la droite perpendiculaire à la droite $(IM)$ passant par $I$.
- La droite $(BN)$ coupe la droite $(d_1)$ au point $J$.
- Avec la figure
- Démontrer que le quadrilatère $MNJI$ est un rectangle.
- Constater sur la figure dynamique précédente que lorsque la position de $M$ varie sur $(C_1)$, l’aire de $MNJI$ varie.
Pour cela, faire bouger à la souris le curseur $a$ qui correspond à la distance $AM$. - Lire sur la figure dynamique précédente la valeur de $a=AM$ (en vert) qui donne l’aire de $MNJI$ (en rouge) la plus grande.
- Avec un tableur
- Démontrer, en utilisant la propriété de THALES dans le triangle $ANB$, que $MN=\frac{3}{2}a$.
- Démontrer, en utilisant la propriété de Pythagore, que $IM=\sqrt{16-a^2}$.
- Faire un tableau donnant l’aire de $MNJI$ en fonction de $a=AM$, pour des valeurs de $a$ variant de $0{,}5\,cm$ en $0,5\,cm$.
AM | MN | IM | Aire(MNJI) |
0,5 | |||
1 | |||
1,5 | |||
2 | |||
2,5 | |||
3 | |||
3,5 |
-
- Reproduire le tableau précédent dans un tableur de votre choix.
- Entrer les formules de la première ligne en utilisant le nom de la cellule ("A2") où se trouve la valeur $0{,}5$ de $AM$.
- Utiliser la fonction "Remplir en bas" du menu "Édition" pour remplir le tableau.
- Le problème est de s’approcher le plus près possible de la valeur qu’il faut donner à $AM$ pour que l’aire de $MNJI$ soit la plus grande possible.
Observer les résultats du tableau. Que peut-on dire de la réponse au problème ? - Changer les valeurs de la première colonne pour s’approcher de plus en plus près de la réponse au problème.
Documents joints
"GeoGebra"
"OpenOffice"