Les bicyclettes des Pays-Bas - Solution de l'énigme publié le 21/03/2015

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Solution

Soit $x$, $y$ et $z$, les nombres respectifs de familles possédant deux, trois et quatre vélos.

On obtient alors le système d’équations suivantes : $\begin{cases} x + y + z & = 2\,000 \\ 2x + 3y +4z & = 5\,495 \end{cases}$

Comme deux de ces catégories comptent le même nombre de familles, il y a trois cas à étudier :

• premier cas : $x = y$ ;
• deuxième cas : $x = z$ ;
• troisième cas : $y = z$.

Premier cas
Si on suppose que $x = y$, le système devient alors $\begin{cases} 2x + z & = 2\,000 \\ 5x + 4z & = 5\,495 \end{cases}$
On trouve alors $x = 835$ et $z = 330$.

Deuxième cas
Si on suppose que $x = z$, le système devient alors $\begin{cases} 2x + y & = 2\,000 \\ 6x + 3y & = 5\,495 \end{cases}$
On trouve alors que le système n’a pas de solution.

Troisième cas
Si on suppose que $y = z$, le système devient alors $\begin{cases} x + 2y & = 2\,000 \\ 2x + 7y & = 5\,495 \end{cases}$
On trouve alors $x = \dfrac{3\,010}{3}$ et $z = -\dfrac{1\,495}{3}$.

Après l’étude de ces trois cas, on en déduit qu’il y a 835 familles qui possèdent 2 vélos, 835 familles qui possèdent 3 vélos et 330 familles qui possèdent 4 vélos.