Bon anniversaire à vous deux ! publié le 29/01/2021  - mis à jour le 09/04/2021

Modélisation en probabilités

Sommaire des TraAms "modéliser"

 

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Description de la tâche de modélisation

Problématique

Est-ce rare que deux élèves d’une classe fêtent leur anniversaire le même jour ? La modélisation par les probabilités est-elle en accord avec la réalité ?

Niveau concerné

Classe de seconde

Modèle(s) mathématiques utilisé(s)

Dénombrement à l’aide d’arbre, probabilités, fréquence et échantillonnage

Autres compétences mathématiques mises en jeu

Chercher, calculer, raisonner, communiquer

Compétences numériques

Tableur et Python

Nombre d’heures envisagées

Trois séances d’une heure

Démarche de l’enseignant

Les premières questions que nous pouvons nous poser sont : pourquoi choisir une activité fondée sur une question paradoxale ? Qu’est-ce qu’un paradoxe ?
Diderot disait, « le paradoxe est une vérité opposée aux préjugés du vulgaire » et le dictionnaire mentionne : étymologiquement (para : « contre » et doxa : opinion), le paradoxe est une opinion ou une proposition à première vue surprenante ou choquante.

Apporter une réponse à une question paradoxale, c’est aller contre le sens commun et donc marquer les esprits.
Cette problématique devrait donc susciter la curiosité des élèves.
Notre objectif est de répondre, de façon fiable, à la question posée qui, de surcroît, est issue du monde réel.
C’est là qu’intervient l’utilisation d’un modèle. Citons David Ruelle :

« Un modèle consiste à coller une théorie mathématique sur un morceau de réalité ».

La solution est d’utiliser les probabilités, seul élément mathématique d’ailleurs, permettant d’étudier le hasard.
Mais, il y a souvent dans l’enseignement des probabilités une confusion entre le modèle que l’on utilise et la réalité que l’on veut étudier.
Et le recours à la simulation pour faire apparaître une fréquence limite peut avoir comme conséquence de renforcer cette confusion. Les élèves n’ayant pas en effet conscience que le modèle utilisé n’est pas la réalité.

Par ailleurs, les programmes de collège abordent l’approche des probabilités cardinalistes qui suppose l’équiprobabilité des issues et l’approche fréquentiste qui assimile une fréquence observée à la « probabilité théorique » sans que l’on connaisse la précision de cette approximation.
On peut donc s’attendre à ce que les élèves soient vierges de toute réflexion à ce sujet et fassent la confusion.
Mon intention est de faire émerger un questionnement sur ces approches et d’éveiller leur sens critique.

L’attendu final est de mesurer la véracité de notre modèle : est-il acceptable ? "Colle"-t-il à la réalité ?

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