Une inégalité d'aires ! publié le 04/11/2014 - mis à jour le 18/11/2014
Sujet n°4 ( moyen)
Énonce
On considère un quadrilatère convexe $ABCD$. Soient $E,F,G,H$ les milieux respectifs de $ [AB],[BC],[CD],[DA] $. Posons $A_1=\mathcal{A}(AEH), A_2=\mathcal{A}(BEF), A_3=\mathcal{A}(CFG), A_4=\mathcal{A}(DGH)$ et $A=\mathcal{A}(ABCD)$. Montrer que :
$$\sqrt[3]{A_{1}}+\sqrt[3]{A_{2}}+\sqrt[3]{A_{3}}+\sqrt[3]{A_{4}}\leq 2\sqrt[3]{A} $$
Les solutions
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F.De Ligt (PDF de 17.6 ko)
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O.Rochoir (PDF de 143.5 ko)
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H.Tarfaoui (PDF de 18.1 ko)
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J.Marot (PDF de 139.5 ko)