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article Le réveil : Solution     -    publié le 22/03/2014    mis à jour le 17/03/2016

Solution de l’énigme du 20 mars 2014 pour les élèves de quatrième et de troisième.

Voir l’énigme : Le réveil

On compte le nombre de minutes dans un jour pour trouver le nombre total d’affichages : il y a 60 × 24 = 1440 minutes en 24 heures donc 1440 affichages. Il faut ensuite soustraire tous les cas où des nombres identiques apparaissent : – les heures ayant deux fois le même chiffre : 00 11 et 22. Dans chacune de ces heures, il y a 60 minutes donc cela fait 3 × 60 = 180 affichages ; – pour les heures dont les 2 chiffres sont inférieurs à 6 : cela fait 13 heures (01 à 05, 10 à 15 (sans le 11), 20, 21, 23) on distingue deux situations : • si on prend pour chiffres des dizaines de minutes un des deux chiffres utilisés pour les heures, on peut mettre n’importe quel chiffre en minutes, cela fait donc 2 × 10 = 20 affichages ; • si on prend pour chiffres des dizaines de minutes un chiffre différent des deux chiffres utilisés pour les heures, on a 4 possibilités de chiffres. Pour chaque choix, il y a 3 possibilités d’obtenir une répétition en reprenant un des trois chiffres utilisés. Cela fait donc 4 × 3 = 12 possibilités ; On a donc dans ce cas 20 + 12 = 32 affichages comportant une répétition et comme il y a 13 heures dans ce cas, on a 13 × 32 = 416 affichages ; – pour les heures où un chiffre est supérieur ou égal à 6 : cela correspond aux heures 06, 07, 08, 09, 16, 17, 18 19. On distingue encore deux situations : • si on prend pour chiffre des dizaines de minutes un des deux chiffres utilisés pour les heures, on est obligé de prendre le chiffre des dizaines d’heures, et pour le choix des minutes, tous les chiffres sont possibles cela fait donc 1 × 10 = 10 affichages ; • si on prend pour chiffres des dizaines de minutes un chiffre différent des deux chiffres utilisés pour les heures, on a 5 possibilités de chiffres. Pour chaque choix, il y a 3 possibilités d’obtenir une répétition en reprenant un des trois chiffres utilisés. Cela fait donc 5 × 3 = 15 possibilités ; Au final, on a dans ce cas 10 + 15 = 25 affichages comportant une répétition et comme il y a 8 heures dans ce cas, on a 8 × 25 = 200 affichages ; Il reste à faire le bilan : 1440 − 180 − 416 − 200 = 644 . Il y a 644 affichages comportant 4 chiffres distincts.

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