L'arithmogone - Solution de l'énigme publié le 16/03/2012

-*Soit {x}, {y} et {z} les trois nombres cherchés, {x} est le nombre associé au sommet du haut, {y} celui en bas à gauche et {z} celui en bas à droite. On doit donc résoudre le système $\left\{\begin{array}{l}x+y=27\\y+z=11\\z+x=18\\\end{array}\right.$ Après calculs, on obtient {x} = 17, {y} = 10 et {z} = 1. ~ On peut remarquer que 2{x} + 2{y} + 2{z} = 27 + 11 + 18, ~ soit {x} + {y} + {z} = $\frac{1}{2}$ (27+11+18). ~ Donc pour avoir {x} par exemple, il suffit de calculer la demi somme des trois nombres donnés et de soustraire le nombre qui se trouve en face, soit {x} = $\frac{1}{2}$ (27+11+18)-11=17. ~ Pour que la configuration du triangle fonctionne, il faut donc que la somme des trois nombres donnés soit paire. -*Soit {x}, {y}, {z} et {t} les quatre nombres cherchés, {x} est le nombre associé au sommet du haut à gauche, {y} celui en bas à gauche et{ t} celui en haut à droite et {z} celui en bas à droite. On doit donc résoudre le système $\left\{\begin{array}{l}x+t=20\\x+y=17\\z+y=24\\z+t=27\\\end{array}\right.$ ~ On obtient après calculs les relations suivantes : ~ {x} = 20 – {t} ~ {y} = 17-20 + {t} = {t} - 3 ~ {z} = 27 – {t} ~ Donc {t} + {z} = 27 devient 27 – {t} + {t} = 27, équation toujours vraie, donc il y a une infinité de solutions pour t . ~ Or le texte précise que les nombres sont des entiers naturels donc positifs. On en déduit les conditions supplémentaires suivantes: ~ {x} = 20 – {t} et {x } ≥ 0, c'est-à-dire {t} ≤20 ~ {y} = 17-20 + {t} = {t} – 3 et {y} ≥ 0, c'est-à-dire {t} ≥ 3 ~ {z} = 27 – {t} et {z} ≥ 0, c'est-à-dire {t} ≤ 27 ~ {t} peut donc prendre les valeurs suivantes respectivement : ~ 3 - 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 - 19 ~ On associe donc à {x} : ~ 17 - 16- 15 – 14 – 13 – 12 – 11 - 10 – 9 – 8 – 7 – 6 -5 – 4 – 3 – 2 - 1 ~ On associe donc à {y} : ~ 0 - 1- 2 – 3 – 4 – 5 – 6 - 7 – 8 – 9 – 10 – 11 - 12 – 13 – 14 – 15 - 16 ~ On associe donc à {z} : ~ 24 - 23- 22 – 21 – 20 – 19 – 18 - 17 – 16 – 15 – 14 – 13 -12 – 11 – 10 – 9 - 8 ~ Remarquons que {x} + {y} + {z} + {t} = 17 + 27 = 20 + 24. Donc pour que la configuration du carré fonctionne, il faut que les sommes des deux nombres associés aux côtés opposés soient égales.