Accueil : Mathématiques

article L’arithmogone - Solution de l’énigme     -    publié le 16/03/2012

-*Soit {x}, {y} et {z} les trois nombres cherchés, {x} est le nombre associé au sommet du haut, {y} celui en bas à gauche et {z} celui en bas à droite. On doit donc résoudre le système $\left\{\begin{array}{l}x+y=27\\y+z=11\\z+x=18\\\end{array}\right.$ Après calculs, on obtient {x} = 17, {y} = 10 et {z} = 1. ~ On peut remarquer que 2{x} + 2{y} + 2{z} = 27 + 11 + 18, ~ soit {x} + {y} + {z} = $\frac{1}{2}$ (27+11+18). ~ Donc pour avoir {x} par exemple, il suffit de calculer la demi somme des trois nombres donnés et de soustraire le nombre qui se trouve en face, soit {x} = $\frac{1}{2}$ (27+11+18)-11=17. ~ Pour que la configuration du triangle fonctionne, il faut donc que la somme des trois nombres donnés soit paire. -*Soit {x}, {y}, {z} et {t} les quatre nombres cherchés, {x} est le nombre associé au sommet du haut à gauche, {y} celui en bas à gauche et{ t} celui en haut à droite et {z} celui en bas à droite. On doit donc résoudre le système $\left\{\begin{array}{l}x+t=20\\x+y=17\\z+y=24\\z+t=27\\\end{array}\right.$ ~ On obtient après calculs les relations suivantes : ~ {x} = 20 – {t} ~ {y} = 17-20 + {t} = {t} - 3 ~ {z} = 27 – {t} ~ Donc {t} + {z} = 27 devient 27 – {t} + {t} = 27, équation toujours vraie, donc il y a une infinité de solutions pour t . ~ Or le texte précise que les nombres sont des entiers naturels donc positifs. On en déduit les conditions supplémentaires suivantes: ~ {x} = 20 – {t} et {x } ≥ 0, c'est-à-dire {t} ≤20 ~ {y} = 17-20 + {t} = {t} – 3 et {y} ≥ 0, c'est-à-dire {t} ≥ 3 ~ {z} = 27 – {t} et {z} ≥ 0, c'est-à-dire {t} ≤ 27 ~ {t} peut donc prendre les valeurs suivantes respectivement : ~ 3 - 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 - 19 ~ On associe donc à {x} : ~ 17 - 16- 15 – 14 – 13 – 12 – 11 - 10 – 9 – 8 – 7 – 6 -5 – 4 – 3 – 2 - 1 ~ On associe donc à {y} : ~ 0 - 1- 2 – 3 – 4 – 5 – 6 - 7 – 8 – 9 – 10 – 11 - 12 – 13 – 14 – 15 - 16 ~ On associe donc à {z} : ~ 24 - 23- 22 – 21 – 20 – 19 – 18 - 17 – 16 – 15 – 14 – 13 -12 – 11 – 10 – 9 - 8 ~ Remarquons que {x} + {y} + {z} + {t} = 17 + 27 = 20 + 24. Donc pour que la configuration du carré fonctionne, il faut que les sommes des deux nombres associés aux côtés opposés soient égales.

Contact
Accessibilité
Mentions légales
RSS
Académie de Poitiers, Rectorat, 22 rue Guillaume VII le Troubadour BP 625 86022 Poitiers Cedex