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article 3 cercles tangents - Solution     -    publié le 16/03/2012

une proposition de solution

• énoncé

3cerclestangents-2

Déterminer la longueur du rectangle, lorsque les 3 cercles ont pour rayons respectifs 1, 4, 2.

• solution

3cerclestangents2

On trace la parallèle à la longueur du rectangle, passant par A , puis celle passant par C, puis la perpendiculaire à ces deux droites passant par B. Enfin on trace les segments [AB] et [BC] qui passent par les points ou sont tangents les cercles.

On obtient alors deux triangles rectangles AKB et BHC dont les hypothénuses [AB] et [BC] mesurent 1+4=5 et 4+2=6.

D’autre part la longueur BK est égale à la différence des rayons des cercles de centres respectifs B et A. Donc BK= 4-1=3

La longueur BH est égale à la différence des rayons des cercles de centres respectifs B et C. Donc BH=4-2=2

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABK :
AK²+BK²=AB² donc AK²=AB²-BK²=5²-3²=16. Donc AK=4

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle BHC :
BH²+HC²=BC² donc HC²=BC²-BH²=6²-2²=32 donc
$HC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Si on désigne par $R_1 et R_3$ les rayons des cercles de centres A et C, par L la longueur du rectangle, on a alors :
$L=R_1+AK+HC+R_3=1+4+4\sqrt{2}+2=7+4\sqrt{2}$

• prolongements et sujets d’étude

Et si on change l’ordre des cercles ?

Et si on augmente le nombre de cercles,toujours à rayons entiers, peut on trouver un ordre qui minimise la longueur du rectangle ?

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