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Régulation et asservissement - Première partie : Différences, types d'applications, aspect théorique publié le 24/01/2021

Analyse d'une régulation de température et structures de base des asservissements

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Théorie des systèmes linéaires et systèmes bouclés

Les asservissements sont des systèmes bouclés comportant des blocs/fonctions linéaires ou assimilé(e)s.

Les fonctions à réponse linéaire sont des fonctions dont l’amplitude de la grandeur de sortie varie linéairement en fonction de l’amplitude de la grandeur d’entrée. Chaque fonction sera représentée sous la forme d’un bloc dans lequel sera noté le coefficient directeur.

Par exemple :

Pour un diviseur de tension (plus généralement, un atténuateur) ou pour un amplificateur (les grandeurs d’entrée et de sortie sont des tensions) :
Us [V] = A [-] . Ue [V]
(Note : la notation [-] signifie qu’il n’y a pas d’unité associée)

Pour un réducteur de vitesse, à engrenages, poulies-courroie ou pignons-chaîne... (les grandeurs d’entrée et de sortie sont des vitesses de rotation) :
ω2 [rd/s] = Rd [-] . ω1 [rd/s]

Dans le domaine de l’automatique, les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent être différentes et le coefficient possède alors une unité.

Par exemple :

Pour un hacheur simple (la grandeur d’entrée, notée α (alpha) est comprise en 0% et 100% (le support de l’information étant le rapport cyclique de la PWM) et n’a pas d’unité, la grandeur de sortie est une tension positive ou nulle) :
Um [V] = Umax [V] . α [-]
Pour une roue (ou une poulie, tambour...) (la grandeur d’entrée est une vitesse de rotation et la grandeur de sortie est une vitesse de translation) :
V [m/s] = R [m] . ω [rd/s]
Pour une génératrice tachymétrique (ou tout autre capteur de vitesse analogique) (la grandeur d’entrée est une vitesse de rotation et la grandeur de sortie est une tension) :
Ugt [V] = Kgt [V/rd/s] . ω [rd/s]
Pour un convertisseur numérique-analogique (en abrégé CNA en français ou DAC en anglais) (la grandeur d’entrée est un nombre N, sans unité (si N est codé sur n bits, Nmax = 2ⁿ-1) et la grandeur de sortie est une tension) :
Us [V] = q [V] . N [-] (avec q = Vref/2ⁿ)
Pour un convertisseur analogique-numérique (en abrégé CAN en français ou ADC en anglais) (la grandeur d’entrée est une tension et la grandeur de sortie est un nombre N, sans unité (si N est codé sur n bits, Nmax = 2ⁿ-1)) :
N [-] = 1/q [V] . Ue [V] (avec q = Vref/2ⁿ)

Certains éléments ne se réduisent pas à un simple coefficient. Soit, il existe un décalage d’origine (fonction affine du type y= a.x + b), soit l’élément possède plusieurs entrées variables (typiquement : y = a.x1 + b.x2).

Par exemple :

Pour un hacheur bipolaire (la tension Um peut alors être positive ou négative, la grandeur d’entrée, notée α (alpha) est sans unité et toujours comprise en 0% et 100%. Ce hacheur peut, par exemple, commander le sens et la vitesse d’un moteur en ne faisant varier que α (alpha) entre 0% et 100% (Um = 0 V si α (alpha) = 50%)) :
Um [V] = Umax [V] . (2 . α [-] -1)
(Note : Le décalage d’origine n’est généralement pas gênant car il suffit de le compenser dans la fonction précédente, ce qui est d’autant plus facile si celle-ci (l’amplificateur/correcteur) est réalisée par programme)
Pour un moteur à courant continu en tenant compte de l’influence du couple (la vitesse de rotation est proportionnelle à la FEM (notée E) interne au moteur.
(ω [rd/s] = 1/k [V/rd/s] . E[V] avec E [V] = Um [V] - R [Ω] . I [A] et I [A] = 1/k [Nm/A] . C [Nm]) :
ω [rd/s] = 1/k [V/rd/s] . (Um [V] - R [Ω] . 1/k [Nm/A] . C [Nm])
(Note : Nous verrons, ci-après, que l’utilisation de ce modèle complexe sera inutile)
Le moteur à courant continu peut, en effet, être vu ainsi car E [V] ≈ Um [V] lorsque le moteur est à vide ou, en analysant les courbes de petits moteurs à courant continu, il apparaît que E [V] ≈ ⅘ . Um [V] lorsque le moteur fonctionne autour du point nominal :
ω [rd/s] ≈ 1/k [V/rd/s] . Um [V] à vide ou bien
ω [rd/s] ≈ ⅘ . 1/k [V/rd/s] . Um [V] au point nominal
Note : Nous verrons, ci-après, que les évolutions du coefficient directeur, dues aux variations du couple, n’influenceront que très peu la précision de l’asservissement.

Différents assemblages sont possibles : la mise en cascade, la mise en parallèle et la rétroaction.

La mise en cascade correspond à un produit. Ceci sera mis en application avec la chaîne d’énergie (hacheur -> moteur -> réducteur...). La mise en cascade de n éléments est équivalente à un seul élément dont le coefficient est le produit des n coefficients.
Application : La chaîne d’énergie sera vue comme un unique coefficient.
La mise en parallèle correspond à une somme algébrique. Classiquement, il est possible de mettre en parallèle jusqu’à 3 éléments. Ceci sera mis en application avec le composant correcteur qui comportera 2 ou 3 éléments en //. La mise en parallèle de n éléments est équivalente à un seul élément dont le coefficient est la somme des n coefficients.
Application : Le correcteur (appelé correcteur PID) est chargé de rendre l’asservissement performant. Pour optimiser le temps de réponse, la précision et la stabilité, il faudra superposer les influences de 2 ou 3 réglages.
La rétroaction est à la base des systèmes bouclés et le résultat obtenu a la forme d’un quotient. Ceci sera mis en application dans les asservissements. La valeur de la sortie S est, ici, directement comparée à la valeur de l’entrée E (voir le signe -) et le résultat de la rétroaction correspond à un coefficient dont l’expression est S / E = A / (1 + A) et dont la valeur reste toujours inférieure à 1.
Application : Si la précision attendue pour l’asservissement est de l’ordre de 1% (soit l’erreur relative entre la sortie S et l’entrée E), il faudra effectuer le nécessaire pour que la valeur de A soit toujours supérieure ou égale à 100 (100/(1+100) ≈ 0,9901 ≈ 99 %). Plus généralement, la valeur de A doit être la plus grande possible pour que le quotient A/(1+A) tende vers 1, ce qui, dans l’absolu, garantira que la valeur de la sortie soit toujours égale à la valeur d’entrée.
Pour réaliser un asservissement, il est nécessaire d’utiliser un capteur. En effet, la comparaison ne pourra, réellement, se faire dans le système, qu’entre, généralement, une tension ou un nombre, représentant la consigne, et une image, de même nature, de la sortie, réalisée par le capteur.
Exemple : Le capteur fournira une tension Ucap = 2,5 V pour une vitesse réelle de 2,5 m/s.
A correspond à la chaîne directe (la mise en cascade de l’amplificateur/correcteur et de la chaîne d’énergie), B correspond à la chaîne de retour (le capteur, suivi, éventuellement, d’une adaptation). L’expression est maintenant S / E = A / (1 + A . B) et sa valeur reste toujours inférieure à 1 / B.
Idéalement, pour être complet, la structure de l’asservissement doit être précédée par un élément supplémentaire chargé de transformer la consigne (la valeur théorique que devra suivre la sortie) en une image exploitable (généralement une tension ou un nombre)
Exemple : La consigne de 2,5 m/s sera soit transformée en une tension Ucons = 2,5 V soit codée en un nombre entier Ncons = 250.
Ainsi l’expression finale est S / C = B . (A / (1 + A . B)) ou S / C = (A . B) / (1 + A . B), sa valeur restant toujours inférieure à 1.
Application : Si la précision attendue pour l’asservissement est de l’ordre de 1%, il faudra effectuer le nécessaire pour que la valeur (A . B) (appelée amplification en boucle ouverte) soit toujours supérieure ou égale à 100 (100/(1+100) ≈ 0,9901 ≈ 99 %). Plus généralement, l’amplification en boucle ouverte doit être la plus grande possible pour garantir que la valeur de la sortie soit toujours égale à la consigne. Ceci signifie que l’amplification en boucle fermée (qui correspond à S / C = (A . B) / (1 + A . B) ) tend vers 1.

Termes et notions vues au niveau bac :

Sortie : la grandeur à asservir (à piloter...) ;
Consigne : La valeur que doit suivre la sortie (souvent une image d’une consigne) ;
Comparateur : En réalité, un soustracteur (qu’il soit analogique ou numérique) ;
Capteur : Fournit une image de la sortie (généralement sous forme d’une tension ou d’un nombre) ;
Correcteur (ou amplificateur/correcteur) : Améliore précision, stabilité et temps de réponse ;
Chaîne directe : L’amplificateur/correcteur suivi de la chaîne d’énergie ;
Chaîne de retour : Le capteur, éventuellement suivi de sa mise en forme ;
Boucle fermée : La structure d’un système bouclé, ici un asservissement (consigne -> sortie) ;
Boucle ouverte : Configuration obtenue lorsque le rebouclage n’est pas réalisé (consigne -> sortie du capteur).

Critères à respecter pour qu’un asservissement puisse fonctionner :

Un rebouclage toujours négatif afin d’avoir un système qui puisse se "réguler" (exemple : si, pour une raison quelconque, la sortie augmente, ne serait-ce que légèrement, le système compensera en diminuant la sortie) ;
Une valeur suffisamment grande et positive pour l’amplification en boucle ouverte (si, par construction, elle était négative, il faudrait utiliser un sommateur à la place du soustracteur pour conserver un rebouclage négatif) ;
Un amplificateur/correcteur (appelé correcteur PID -Proportionnel-Intégrale-Dérivée-) correctement réglé pour satisfaire aux 3 critères : meilleur temps de réponse, précision suffisante et suppression des instabilités.

Documents ressources liés à cet article

Le fichier zip associé contient le composant Sinusphy créé, les fichiers de simulation, le document ressource sur le calcul de déperdition thermique et les différents éléments graphiques utilisés.