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\begin{document}
\pagestyle{fancy}  

\lhead{\textbf{BTS MAI 2}}  

\chead{}   

\rhead{\textbf{11/12/2002}}  

\lfoot {\scriptsize{\textbf{ {Fichier \jobname.tex}}}}  

\cfoot{}  

\rfoot {\scriptsize{{\textbf{Page \thepage/\pageref{LastPage}}}}} \renewcommand {\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\setlength{\fboxsep}{7pt}

\begin{center}\shadowbox{\parbox{15.2cm}
{\centerline{
\LARGE{
\textsc{ feuille d'exercices n}\(^{\circ}\)}\Large{4}
}
}
}\end{center}

On se propose d'utiliser le tableur Excel pour trouver des conditions
qui permettent d'approximer la loi binomiale par la loi de Poisson
ou par la loi Normale. Commencer par lancer le tableur.


\section{Calcul de la loi Binomiale.}

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres
$n$ et $p$, alors on a :\[
p(X=k)=\textrm{LOI.BINOMIALE(}k;n;p;\textrm{FAUX)}\; p(X\leqslant k)=\textrm{LOI.BINOMIALE(}k;n;p;\textrm{VRAI) }\]


\begin{exercice}La variable aléatoire $X$ suit $\mathcal{B}(15,0.22)$.
Déterminer $p(X=5)$ et $p(X\leqslant 5)$.\end{exercice}


\section{Calcul de la loi de Poisson.}

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi de Poisson de paramètre
$\lambda $, alors on a :\[
p(X=k)=\textrm{LOI.POISSON(}k;\lambda ;\textrm{FAUX)}\; p(X\leqslant k)=\textrm{LOI.POISSON(}k;\lambda ;\textrm{VRAI) }\]


\begin{exercice}La variable aléatoire $X$ suit $\mathcal{P}(3)$.
Déterminer $p(X=4)$ et $p(X\leqslant 4)$.\end{exercice}


\section{Calcul de la loi Normale.}

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $m$
et $\sigma $, alors on a :\[
p(X=k)=\textrm{LOI.NORMALE(}k;m;\sigma ;\textrm{FAUX)}\; p(X\leqslant k)=\textrm{LOI.NORMALE(}k;m;\sigma ;\textrm{VRAI) }\]


\begin{exercice}La variable aléatoire $X$ suit $\mathcal{N}(12,3)$.
Déterminer $p(X=8)$ et $p(X\leqslant 8)$.\end{exercice}

\begin{exercice}La variable aléatoire $X$ suit $\mathcal{N}(4,1.5)$.
Déterminer $p(2\leqslant X\leqslant 4)$\end{exercice}

\begin{exercice}Retrouver avec le tableur les valeurs de la table
de la loi normale centrée réduite : $\Pi (1,51)=0,9345$ et $\Pi (0,18)=0,5714$\end{exercice}


\section{Comparaison des lois}

Charger le classeur 3\_lois.xls, dont l'auteur est Hubert Bayet. On
activera les macros. La première feuille de ce classeur permet de
comparer les valeurs prises avec la loi binomiale de paramètres $n$
et $p$, la loi de Poisson de paramètre $np$, et la loi normale de
paramètres $m=np$ et $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$. Un premier graphique
représente ces trois lois dans un même repère. Deux autres graphiques
représentent les écarts entre la loi binomiale et la loi de Poisson,
la loi binomiale et la loi normale.

Deux curseurs permettent de modifier $n$ : un petit qui permet de
choisir la valeur maximale utilisée par le grand curseur, et un grand
qui permet de choisir la valeur de $n$. Deux autres curseurs fonctionnant
sur le même principe permettent de modifier $p$. Le dernier curseur
permet de régler la largeur de l'intervalle utilisé pour les représentations
graphiques.

La deuxième feuille du classeur permet de choisir une fourchette $[a,b]$
et donne les probabilités correspondantes.

\begin{exercice}En manipulant le classeur, trouver une valeur pour
$n$ et une valeur pour $p$ telles que les trois lois soient très
proches l'une de l'autre. Compléter ensuite le tableau suivant à l'aide
du tableur :\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
&
loi binomiale&
loi de Poisson&
Loi normale\\
\hline
\hline 
$p(X=0)$&
&
&
\\
\hline 
$p(X=1)$&
&
&
\\
\hline 
$p(X=2)$&
&
&
\\
\hline 
$\vdots $&
&
&
\\
\hline
\end{tabular}\end{center}

\end{exercice}

\begin{exercice}On suppose que $n=60$, $p=0.05$. On veut vérifier
si l'on peut approcher la loi Binomiale de paramètres $n$ et $p$
par la loi de Poisson de paramètre $\lambda =np$. Compléter pour
cela le tableau suivant à l'aide du tableur :\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
&
Loi Binomiale&
Loi de Poisson\\
\hline
\hline 
$p(X=0)$&
&
\\
\hline 
$p(X=1)$&
&
\\
\hline 
$p(X=2)$&
&
\\
\hline 
$p(X=3)$&
&
\\
\hline 
$p(X=4)$&
&
\\
\hline 
$p(X=5)$&
&
\\
\hline 
$p(X=6)$&
&
\\
\hline 
$p(X=7)$&
&
\\
\hline 
$\vdots $&
&
\\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{exercice}

\begin{exercice}On considère la variable aléatoire $X$ suivant la
loi binomiale de paramètres 50 et $\frac{1}{2}$. On réalise 50 épreuves
aléatoires indépendantes. Calculer, puis représenter sur un diagramme
en bâton les valeurs prises par cette loi binomiale. On mettra en
abscisse 0,1,2,3,...50, et en ordonnée $p(X=0)$, $p(X=1)$, ....
$p(X=50)$.\\
Tracer la courbe représentative de la densité de probabilité de la
loi normale $\mathcal{N}(25;\frac{5}{\sqrt{2}})$. Que peut-on constater
? Quelle est son espérance ? Quel est son écart-type ?\\
On complètera le tableau suivant :\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
$x$&
$p(X=x)$&
$f(x)$\\
\hline
\hline 
$0$&
&
\\
\hline 
$1$&
&
\\
\hline 
$2$&
&
\\
\hline 
$3$&
&
\\
\hline 
$4$&
&
\\
\hline 
$\vdots $&
&
\\
\hline 
$48$&
&
\\
\hline 
$49$&
&
\\
\hline 
$50$&
&
\\
\hline
\end{tabular}\end{center}avec \[
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-m}{\sigma })^{2}}\]
\end{exercice}
\end{document}
