% Jean-Michel Sarlat - 1999

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% DÈfinition de \exo ... \finexo

\newcount\exonumber\exonumber=0

\def\Exo{\goodbreak\global\advance\exonumber by 1\par\vskip 15pt

         \noindent{\framebox{\bf Exercice \the\exonumber}}}

\def\exo{\begin{center}\Exo\end{center}}

\def\finexo{}

%=====================================================================

\geometry{margin=2cm,head=0.5cm,headsep=10pt,foot=1cm}

\newcommand{\N}{\mathbf{N}}

\parindent0pt

\pagestyle{empty}



\begin{document}



\begin{center}

	\sf \Large

	Concours gÈnÈral de mathÈmatiques\\

	1999\\

	\rule{0.6\linewidth}{0.3mm}

\end{center}

\exo

Qu'est le volume maximum d'un cylindre, ayant mÍme

axe de rÈvolution qu'un cÙne donnÈ et intÈrieur ‡ ce cÙne~?\\

Quel est le volume maximum d'une boule, centrÈe sur cet axe et intÈrieure

au cÙne ?\\

Comparer les deux maximuns trouvÈs.

\finexo



\exo

RÈsoudre dans $\N$ l'Èquation en $n$ : 

$$(n+3)^n=\sum_{k=3}^{n+2} k^n$$

\finexo



\exo 

Pour quels triangles aux angles tous aigus le quotient du plus

petit cotÈ par le rayon du cercle inscrit est-il maximum~?

\finexo 



\exo

Sur une table trÙnent $1 999$ bonbons rouges et

$6 661$ bonbons jaunes rendus indiscernables par des emballages uniformes.

Un gourmand applique jusqu'‡ Èpuisement du stock l'algorithme ci-desous~:

\begin{itemize}

	\item[a)]  S'il reste des bonbons, il en tire un au hasard, note sa

	couleur, le mange et va en b)~;

	\item[b)]   S'il reste des bonbons, il en tire un au hasard et note sa

	couleur~:

	\begin{itemize}

		\item si elle est la mÍme que celle du dernier bonbon avalÈ, il le

		mange et retourne en~b),

		\item sinon, il le remmaillote,le pose et retourne en a).

	\end{itemize}

\end{itemize}

Montrer que tous les bonbons seront mangÈs et donner la probabilitÈ pour

que le dernier bonbon mangÈ soit rouge.

\finexo



\exo

Montrer que les symÈtriques de chaque sommet d'un triangle par

rapport au cotÈ opposÈ sont alignÈs si, et seulement si,

la distance de l'orthocentre au centre du cercle circonscrit est Ègale ‡

son diamËtre.

\finexo



\end{document}