%%!TEX TS-program = latex
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\hypersetup{pdfauthor={Jérôme Ortais},pdfsubject={Exercices de
    mathématiques},pdftitle={Exercices créés par Pyromaths, un programme
    en Python de Jérôme Ortais}}
\makeatletter
\newcommand\styleexo[1][]{
  \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
  \renewcommand{\labelenumi}{$\blacktriangleright$\textbf{\theenumi.}}
  \renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
  \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
  {\fontfamily{pag}\fontseries{b}\selectfont \underline{#1 \theexo}}
  \par\@afterheading\vspace{0.5\baselineskip minus 0.2\baselineskip}}
\newcommand*\exercice{%
  \psset{unit=1cm}
  %\ifthenelse{\equal{\theexo}{0}}{}{\filbreak}
  \refstepcounter{exo}%
  \stepcounter{nocalcul}%
  \par\addvspace{1.5\baselineskip minus 1\baselineskip}%
  \@ifstar%
  {\penalty-130\styleexo[Corrigé de l'exercice]}%
  {\penalty-130\styleexo[Exercice]}%
  }
\makeatother
\newlength{\ltxt}
\newcounter{fig}
\newcommand{\figureadroite}[2]{
  \setlength{\ltxt}{\linewidth}
  \setbox\thefig=\hbox{#1}
  \addtolength{\ltxt}{-\wd\thefig}
  \addtolength{\ltxt}{-10pt}
  \begin{minipage}{\ltxt}
    #2
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{\wd\thefig}
    #1
  \end{minipage}
  \refstepcounter{fig}
  }
\count1=\year \count2=\year
\ifnum\month<8\advance\count1by-1\else\advance\count2by1\fi
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\chead{\Large{\textsc{Fiche de révisions}}}
\rhead{\textsl{\footnotesize{Classe de 4\ieme}}}
\DecimalMathComma
\begin{document}
  \newcounter{nocalcul}[exo]
  \renewcommand{\thenocalcul}{\Alph{nocalcul}}
  \raggedcolumns
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \exercice*
  Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme d'une
  fraction simplifiée :
  \begin{multicols}{3}
    \noindent%
    \[\thenocalcul = \dfrac{7}{12} \div  \big( \dfrac{-11}{15} + \dfrac{8}{15}
      \big) \]
    \[\thenocalcul = \dfrac{7}{12} \div  \dfrac{-3}{15} \]
    \[\thenocalcul = \dfrac{7}{12} \div  \dfrac{-1_{\times 3}}{5_{\times 3}} \]
    \[\thenocalcul = \dfrac{7}{12} \div  \dfrac{-1}{5} \]
    \[\thenocalcul = \dfrac{7}{12} \times -5\]
    \[\boxed{\thenocalcul = \dfrac{-35}{12}}\]
    \stepcounter{nocalcul}%
    \[\thenocalcul = \dfrac{-1}{11} \times  \big( \dfrac{15}{23} +
      \dfrac{8}{23} \big) \]
    \[\thenocalcul = \dfrac{-1}{11} \times  \dfrac{23}{23} \]
    \[\thenocalcul = \dfrac{-1}{11} \times  \dfrac{1_{\times 23}}{1_{\times
          23}} \]
    \[\thenocalcul = \dfrac{-1}{11} \times  1 \]
    \[\boxed{\thenocalcul = \dfrac{-1}{11}}\]
    \stepcounter{nocalcul}%
    \[\thenocalcul = \dfrac{8}{9} - \dfrac{-10}{7} \div \dfrac{6}{35}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{8}{9} - \dfrac{-10}{7} \times \dfrac{35}{6}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{8}{9} - \dfrac{-5 \times \cancel{2}}{1 \times
        \bcancel{7}} \times \dfrac{5 \times \bcancel{7}}{3 \times \cancel{2}}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{8}{9} - \dfrac{-25}{3}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{8}{9}-\dfrac{-25_{\times 3}}{3_{\times 3}}\]
    \[\boxed{\thenocalcul = \dfrac{83}{9}}\]
    \stepcounter{nocalcul}%
    \[\thenocalcul = \dfrac{-3}{4} \div \dfrac{-7}{16} \times \dfrac{14}{39}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{-3}{4} \times \dfrac{-16}{7} \times \dfrac{14}{39}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{-3}{1 \times \bcancel{4}} \times \dfrac{-4 \times
        \bcancel{4}}{7} \times \dfrac{14}{39}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{12}{7} \times \dfrac{14}{39}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{4 \times \cancel{3}}{1 \times \bcancel{7}} \times
      \dfrac{2 \times \bcancel{7}}{13 \times \cancel{3}}\]
    \[\boxed{\thenocalcul = \dfrac{8}{13}}\]
    \stepcounter{nocalcul}%
    \[\thenocalcul = \dfrac{11}{16} \div \dfrac{5}{36} + \dfrac{13}{20}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{11}{16} \times \dfrac{36}{5} + \dfrac{13}{20}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{11}{4 \times \bcancel{4}} \times \dfrac{9 \times
        \bcancel{4}}{5} + \dfrac{13}{20}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{99}{20} + \dfrac{13}{20}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{112}{20}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{28_{\times 4}}{5_{\times 4}}\]
    \[\boxed{\thenocalcul = \dfrac{28}{5}}\]
    \stepcounter{nocalcul}%
    \[\thenocalcul = \dfrac{-2}{3} \div \dfrac{-8}{21} - \dfrac{-9}{4}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{-2}{3} \times \dfrac{-21}{8} - \dfrac{-9}{4}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{-1 \times \cancel{2}}{1 \times \bcancel{3}} \times
      \dfrac{-7 \times \bcancel{3}}{4 \times \cancel{2}} - \dfrac{-9}{4}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{7}{4} - \dfrac{-9}{4}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{16}{4}\]
    \[\thenocalcul = \dfrac{4_{\times 4}}{1_{\times 4}}\]
    \[\boxed{\thenocalcul = 4}\]
    \stepcounter{nocalcul}%
  \end{multicols}


  \exercice*
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $FPO$ est un triangle rectangle en $F$ tel que :\par
      $OP=\unit[2{,}1]{cm}$ et $\widehat{FOP}=60\degres$.\par
      Calculer la longueur $FO$.\par
      Dans le triangle $FPO$ rectangle en $F$,
      \[ \cos\widehat{FOP}=\cfrac{FO}{OP} \]
      \[ \cos60=\cfrac{FO}{2{,}1} \]
      \[ \boxed{FO=\cos60\times 2{,}1\simeq\unit[1{,}05]{cm}} \]
      \columnbreak
    \item $JYX$ est un triangle rectangle en $X$ tel que :\par
      $XJ=\unit[5]{cm}$ et $JY=\unit[5{,}4]{cm}$.\par
      Calculer la mesure de l'angle $\widehat{XJY}$.\par
      Dans le triangle $JYX$ rectangle en $X$,
      \[ \cos\widehat{XJY}=\cfrac{XJ}{JY} \]
      \[ \cos\widehat{XJY}=\cfrac{5}{5{,}4} \]
      \[
        \boxed{\widehat{XJY}=\cos^{-1}\left(\cfrac{5}{5{,}4}\right)\simeq22{,}1\degres} \]
    \end{enumerate}
  \end{multicols}

  \exercice*
  \figureadroite{
    \psset{PointSymbol=x,unit=0.35}
    \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(9.69,3.69)
      \SpecialCoor
      \pstTriangle[PosAngleA=225,PosAngleB=-45,PosAngleC=82.13,PointNameA=U,
      PointNameB=D,PointNameC=E](0,0){a}(8.19,0){b}(5.3;37.13){c}
      \pstTriangle[PosAngleB=-45,PosAngleC=127.13,PointSymbolA=none,
      PointName=none,PointNameB=S,PointNameC=F](0,0){a}(4.5,0){b}(2.9;37.13){c}
    \end{pspicture}
    }
  {Sur la figure ci-contre, les droites $(DE)\text{ et }(SF)$ sont
    parallèles.\par
    On donne $UE=\unit[5{,}3]{cm},\quad DE=\unit[5{,}1]{cm}, \quad
    US=\unit[4{,}5]{cm}\quad\text{et}\quad SF~=~\unit[2{,}8]{cm}$.\par
    Calculer $UD\text{ et }UF$.}

  Dans le triangle $UDE$,~ $S$ est sur le côté $[UD]$,~
  $F$ est sur le côté $[UE]$ et les droites $(DE)$ et $(SF)$ sont
  parallèles.\par
  D'après le \textbf{théorème de Thalès} :
  $\qquad\mathbf{\cfrac{UD}{US}=\cfrac{UE}{UF}=\cfrac{DE}{SF}}$

  \[\frac{UD}{4{,}5}=\frac{5{,}3}{UF}=\frac{5{,}1}{2{,}8}\]
  $\cfrac{5{,}1}{2{,}8}=\cfrac{UD}{4{,}5}\quad$ donc $\quad
  \boxed{UD=\cfrac{4{,}5\times 5{,}1}{2{,}8}\simeq\unit[8{,}196]{cm}}$\par
  $\cfrac{5{,}1}{2{,}8}=\cfrac{5{,}3}{UF}\quad$ donc
  $\quad\boxed{UF=\cfrac{5{,}3\times 2{,}8}{5{,}1}\simeq\unit[2{,}909]{cm}}$\par


  \exercice*
  Soit $YKJ$ un triangle tel que : $\quad YK=\unit[6]{cm}\quad$, $\quad
  JK=\unit[6{,}3]{cm}\quad$ et $\quad JY=\unit[8{,}7]{cm}$.\par
  Quelle est la nature du triangle $YKJ$?

  \par\dotfill{}\\

  Le triangle YKJ n'est ni isocèle, ni équilatéral.\par

  $\left.
  \renewcommand{\arraystretch}{2}
  \begin{array}{l}
    \bullet JY^2=8{,}7^2=75{,}69\qquad\text{(}[JY]\text{ est le plus grand
      côté.)}\\

    \bullet  YK^2+JK^2=6^2+6{,}3^2=75{,}69

  \end{array}
  \right\rbrace$
  Donc $JY^2=YK^2+JK^2$.\par
  D'après la \textbf{réciproque du théorème de Pythagore},
  \fbox{le triangle $YKJ$ est rectangle en $K$.}

  \exercice*
  \begin{minipage}{4cm}
    \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
      \SpecialCoor\psset{PointSymbol=x}
      \pstGeonode[PointName=Y,PosAngle=108](1.5;108){a}
      \pstGeonode[PointName=F,PosAngle=288](1.5;288){b}
      \pstGeonode[PointName=A,PosAngle=259.49](1.5;259.49){c}
      \pspolygon(a)(b)(c)\pscircle(0,0){1.5}
      \rput(1.8;18){$\big(\mathcal{C}\big)$}
    \end{pspicture}
  \end{minipage}\hfill
  \begin{minipage}{13cm}
    $\big(\mathcal{C}\big)$ est un cercle de diamètre $[YF]$ et $A$ est un
    point de $\big(\mathcal{C}\big)$.\par
    On donne $YA=\unit[6{,}3]{cm}\text{ et }YF=\unit[6{,}5]{cm}$.\par
    Calculer la longueur $FA$.
    \par\dotfill{}\\

    $[YF]$ est le diamètre du cercle circonscrit au triangle $AFY$.\par
    \fbox{Donc le triangle AFY est rectangle en A.}\\

    D'après le \textbf{théorème de Pythagore} :
    \[YF^2=FA^2+YA^2\kern1cm\text{(car }[YF]\text{ est \emph{l'hypoténuse})}\]
    \[FA^2=YF^2-YA^2\kern1cm\text{(On cherche }FA)\]
    \[FA^2=6{,}5^2-6{,}3^2\]
    \[FA^2=42{,}25-39{,}69\]
    \[FA^2=2{,}56\]
    \[\boxed{\text{Donc }FA=\sqrt{2{,}56}=\unit[1{,}6]{cm}}\]
  \end{minipage}

  \label{LastPage}
\end{document}