\documentclass[12pt,a4paper]{article}
% 1========================================================================
% Les packages suivants sont n\0x8ecessaires, ils contiennent la
% d\0x8efinition de certains symboles.
\usepackage{amsfonts,amssymb}
\usepackage{times}
% 2========================================================================
% les packages suivants ne sont pas indispensables, ils fixent la
% police du texte \0x88 PALATINO et celles des symboles \0x88 EULER.
% PALATINO est une police PostScript, EULER est BitMap.
%\usepackage[]{palatino,euler}
% 4========================================================================
% D\0x8efinition de la page
\pagestyle{plain}
\textwidth 16cm
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\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}~)}
\let\le\leqslant
\let\ge\geqslant
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%                               FIN DU PREAMBULE
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\begin{document}
% \special{header=ps.pro}
% \special{" cadre1 cadre2}

\begin{center}\Large
 \sc CONCOURS G\'{E}N\'{E}RAL 1998\\
 \rule{10cm}{1mm}
\end{center}

\section*{Exercice 1}

Un t\'{e}tra\`{e}dre $ABCD$ v\'{e}rifie les conditions suivantes :
\begin{enumerate}
    \item les ar\^{e}tes AB, AC et AD sont deux  \`{a} deux orthogonales
    \item $AB=3$ et $CD=\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
D\'{e}terminer la valeur minimale de $BC^6+BD^6-AC^6-AD^6$.

\section*{Exercice 2}

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$  une suite r\'{e}elle v\'{e}rifiant, pour tout
entier $n$, la relation :

$$u_{n+2}=|u_{n+1}|-u_n$$

Montrer qu'il existe un entier $p$ non nul,
tel que la relation $u_n=u_{n+p}$ ait lieu pour tout entier naturel~$n$.

\section*{Exercice 3}

Pour tout r\'{e}el $x$ on note $E(x)$, le plus grand entier
relatif inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $x$. Soit $k$ un entier
fix\'{e}, sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2. On consid\`{e}re la
fonction $f$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ d\'{e}finie par :

$$ f(n)=n+E\big(\root k\of{n+\root k\of{n}}\big)$$

D\'{e}terminer l'ensemble des valeurs prises par la fonction f.

\section*{Exercice 4}

On consid\`{e}re deux droites $D_1$ et $D_2$ s\'{e}cantes en $O$,
et un point $M$ n'appartenant \`{a} aucune de ces deux droites. On
consid\`{e}re deux points variables, $A$ sur $D_1$ et $B$ sur
$D_2$, tels que le point $M$ appartienne au segment $[A,B]$.

\centerline{\tiny (Les questions 1 et 2 sont ind\'{e}pendantes)}

\begin{itemize}
    \item[(1)] Montrer qu'il existe une position des points $A$ et $ B$ pour
    laquelle l'aire du triangle $OAB$ est minimale.
    Construire les points $A$ et $B$ ainsi d\'{e}termin\'{e}s.
    \item[(2)]  Montrer qu'il existe une position des points
    $A$ et $B$ pour laquelle le p\'{e}rim\`{e}tre du triangle $OAB$ est
    minimal et qu'on a alors l'\'{e}galit\'{e} des p\'{e}rim\`{e}tres des
    triangles $OAM$ et $OBM$, ainsi que la relation~:
    $$\frac {AM}{\tan  {\widehat{OAM}\over 2}} =
    \frac {BM}{\tan  {\widehat{OBM}\over 2}}$$ Construire les point $A$ et
    $B$ ainsi d\'{e}termin\'{e}s.
\end{itemize}

\section*{Exercice 5}

Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3. On
consid\`{e}re un ensemble $A$ de $n$ points du plan, cet ensemble
ne contenant pas trois points align\'{e}s.

Montrer qu'il existe un ensemble $S$ de $2n-5$ points du plan
tel que pour tout triangle dont les sommets sont des points de $A$ il
existe au moins un point de $S$ qui lui soit strictement int\'{e}rieur.

\end{document}
