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	pdfauthor={Xavier TISSERAND},     % author
  	}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%            Intervalle             %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\inter}[4]
{\mathchoice
{\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grands crochets      %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grandes parenthèses  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%e de l'exponentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}

%signe inferieur ou egal francais
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

%signe superieur ou egal francais
\renewcommand{\geq}{\geqslant}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement exercice avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{num}
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	{%
	\setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie
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	\par % commence à une nouvelle ligne
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement partie avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{Partie}
\newcommand{\Partie}[1]%
   {%
   \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas
	%de page tout seul
   \addtocounter{Partie}{1}
   \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}%
   \par%
   }% 


\newcommand{\R}{\mathbf{R}}

% lettres grecques à la française
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} 


%loi normale N
\newcommand{\normale}[2]{\mathscr{N}\pa{#1\mathpunct{};#2}}

%coefficient bonomial
\newcommand{\coeff}[2]{\operatorname{C}_{#1}^{#2}}

%d droit de dx
\newcommand{\dd}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}}


%courbe C
\newcommand{\courbec}{\mathscr{C}}

\newcommand{\cad}{c'est-à-dire }

\providecommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}


\newcommand{\dl}[2]{développement limité d'ordre {$#1$} en {$#2$}}

\everymath{\displaystyle}


\setlength\parindent{0pt}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    document tapé sous linux
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{BTS Groupement B}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2012}

\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS }
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement B}
\fancyhead[R]{2012}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2011-2012}}\\
\scriptsize\thepage/\pageref{LastPage}
}
\pagestyle{fancy}


\begin{document}
\maketitle

\exo

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item Les solutions de l'équation homogène $(E_0)$ sont de la forme
\[
\boxed{
 y_0(x)=k\e^{-2x},\quad\text{avec } k \in \R
}
\]
\item On calcule tout d'abord la dérivée de la fonction $g$. On a 
\begin{align*}
 g'(x)&=-5\cro{\e^{-2x}+x\times(-2)\e^{-2x}}\\
&=-5(1-2x)\e^{-2x}
\end{align*}

Ensuite
\begin{align*}
 g'(x)+2g(x)&=-5(1-2x)\e^{-2x} +2\times(-5x)\e^{-2x}\\
&=-5\e^{-2x}
\end{align*}
\cad que 
\begin{center}
 \fbox{$g$ est une solution particulière de $(E)$.}
\end{center}

\item La solution générale de l’équation $(E)$ s’obtient en ajoutant la solution
générale de l’équation homogène associée $(E_0 )$ et une solution particulière
de $(E)$

\[
 \boxed{
  y(x)=(k-5x)\e^{-2x}\quad\text{avec } k \in \R
 }
\]

\item On a déjà $f$ de la forme $f(x)=(k-5x)\e^{-2x}$

Or $f(0)=1$, d'où $k=1$.
\[
 \boxed{
  f(x)=(1-5x)\e^{-2x}
 }
\]

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item 

\begin{enumerate}
 \item On a, en développant $f(x)=\e^{-2x}-5x\e^{-2x}$.

Or $\lim_{x\to +\infty} -5x\e^{-2x}=0$ et $\lim_{x\to +\infty}\e^{-2x}=0$,
alors, par somme
\[
\boxed{
 \lim_{x\to +\infty} f(x)=0
}
\]
\item La bonne réponse est
\begin{center}
\fbox{
 La courbe $\courbec$ admet la droite d'équation $y=0$ pour asymptote au
voisinage de $+\infty$}
\end{center}
\end{enumerate}
\item 

\begin{enumerate}
 \item D'après le formulaire, on a le \dl{2}{0} de $\e^t$ : 
\[
 \e^t = 1 + t + \frac12 t^2 + t^2 \epsilon (t)\quad \text{avec } \lim_{t\to
0}\epsilon(t)=0
\]
alors, en posant $t=-2x$, on obtient
\[
 \boxed{
 \e^{-2x} = 1 -2x + 2 x^2 + x^2 \epsilon (x)\quad \text{avec } \lim_{x\to
0}\epsilon(x)=0
}
\]
 \item Par produit avec $(1-5x)$ en ne gardant que les termes de degré
inférieur ou égal à $2$ :
\begin{align*}
 f(x)&=(1-5x)\pa{1 -2x + 2 x^2 + x^2 \epsilon (x)}\\
&=1 -2x + 2 x^2  -5x+10x^2+ x^2 \epsilon (x)\\
\end{align*}
\cad
\[
 \boxed{
f(x)=1-7x+12x^2+x^2 \epsilon (x)\quad \text{avec } \lim_{x\to
0}\epsilon(x)=0
}
\]
\item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\courbec$ est donnée par la
partie affine de ce \dl{2}{0} de $f$
\[
\boxed{
 (T) : \quad y=1-7x
}
\]
\item La bonne réponse est
\begin{center}
\fbox{
 La courbe $\courbec$ est au-dessus de la tangente $(T)$ car $12x^2$ est
positif au voisinage de $0$.
}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item Pour intégrer par parties, on pose
\[
 \begin{cases}
  u(x)=1-5x\\
v'(x)=\e^{-2x}
 \end{cases}
\qquad
\begin{cases}
 u'(x)=-5\\
v(x)=-\frac12\e^{-2x}
\end{cases}
\]
d'où
\begin{align*}
 I&=\int_1^2 f(x)\dd x\\
&=\cro{-\frac12(1-5x)\e^{-2x}}_1^2-\frac52\int_1^2 \e^{-2x}\dd x\\
&=\cro{-\frac12(1-5x)\e^{-2x}+\frac54\e^{-2x}}_1^2\\
&=\cro{\pa{\frac52 x+\frac34}\e^{-2x}}_1^2\\
&=\frac{23}{4}\e^{-4}-\frac{13}{4}\e^{-2}
\end{align*}
\cad
\[
 \boxed{
  I=\frac{23\e^{-4}-13\e^{-2}}{4}
 }
\]
\item $\boxed{I\approx -0,33}$

\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item \fbox{Sur $\interff{1}{2}$, $f(x)\leq 0$}

\item \fbox{Le réel $\abs{I}$ est l'aire entre l'axe des abscisses, la courbe
$\courbec$, les droites d'équation $x=1$ et $x=2$}
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\newpage

\exo

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item La variable aléatoire $X$ suit $\normale{360}{18}$ alors
$T=\frac{X-360}{18}$ suit $\normale{0}{1}$.

\begin{align*}
 p(350\leq X\leq 370)&=p\pa{\frac{350-360}{18}\leq T \leq
\frac{370-360}{18}}\\
&=p\pa{-\frac59\leq T\leq \frac59}\\
&=\Pi\pa{\frac59}-\Pi\pa{-\frac59}\\
&=\Pi\pa{\frac59}-\cro{1-\Pi\pa{\frac59}}\\
&=2\Pi\pa{\frac59}-1\\
&\approx 2 \Pi(0,56)-1
\end{align*}
\[
 \boxed{
   p(350\leq X\leq 370)\approx 0,42
 }
\]

\item De même, la variable aléatoire $Y$ suit $\normale{100}{5}$ alors
$T'=\frac{X-100}{5}$ suit $\normale{0}{1}$.

\begin{align*}
 p(90\leq Y\leq 100)&=p\pa{\frac{90-100}{5}\leq T' \leq
\frac{110-100}{5}}\\
&=p(-2\leq T'\leq 2)\\
&=\Pi(2)-\Pi(-2)\\
&=\Pi(2)-\cro{1-\Pi(2)}\\
&=2\Pi(2)-1\\
\end{align*}
\[
 \boxed{
   p(90\leq Y\leq 100)\approx 0,95
 }
\]

\item Comme les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a 
\begin{align*}
 p\pa{(350\leq X\leq 370)\cap (90\leq Y\leq 100)}&= p(350\leq X\leq 370)\times 
p(90\leq Y\leq 100)\\
&\approx 0,41
\end{align*}

\begin{center}
\fbox{
 La probabilité qu'une botte prélevée dans la production de cette journée
soit conforme est $0,41$
}
\end{center}

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item 
\begin{itemize}
 \item Chaque prélèvement est constitué de 5 épreuves élémentaires
indépendantes puisque le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise ;

\item Chaque épreuve élémentaire n'a que deux issues possibles :

\begin{enumerate}[\textbullet]
 \item soit le succès : l'événement $E$, \og une botte de paille prélevée dans
le stock est conforme aux normes d'isolation \fg, de probabilité
$p = p(E) = 0, 4$,
\item soit l'échec : l'événement $\bar{E}$, \og une botte de paille prélevée
dans le stock n'est pas conforme aux normes d'isolation \fg, de probabilité $q =
1 − p=0,6$ ;
\end{enumerate}
\item  La variable aléatoire $Z$ mesure le nombre de succès,
\end{itemize}
alors 
\begin{center}
 \fbox{
  la variable aléatoire $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et
$p=0,4$.
 }
\end{center}
\item On demande $p(Z=5)$.
On a 
\[
 p(Z=5)=\coeff{5}{5}0,4^5 \times 0,6^{0}
\]
\cad
\[
 \boxed{
  p(Z=5)\approx 0,01
 }
\]

\item On demande ici $p(Z\geq 4)$.

\begin{align*}
 p(Z\geq 4)&=p(Z=4)+p(Z=5)\\
&=\coeff{5}{4} 0,4^4 \times 0,5+p(Z=5)
\end{align*}
\[
 \boxed{
  p(Z\geq 4)\approx 0,09
 }
\]

\end{enumerate}


\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item Une estimation ponctuelle de la fréquence $p$ inconnue est
$p=\frac{37}{50}$, \cad
\[
 \boxed{
  p=0,74
 }
\]
\item L'intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de
confiance à $95\%$ est donné par
 \[
I=\interff{f-t\sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}}}{f+t\sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}}}
 \]

où $f=0,74,\,n=50$ et $t$ est tel que $2\Pi(t)-1=0,95$. 

On obtient $\Pi(t)=0,975$, et donc par lecture inverse de la table de la loi
normale $t=1,96$.

On obtient
\[
\boxed{
 I=\interff{0,62}{0,86}
}
\]

\item Non, la fréquence $p$ n'appartient pas obligatoirement à l'intervalle de
confiance.

\end{enumerate}



 \vspace{15cm}
Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}

%Xavier TISSERAND est professeur de mathématiques en cpge ATS au lycée Vieljeux
%de La Rochelle
% Cette classe ATS est exclusivement réservée aux étudiant(e)s titulaires
% d'un BTS ou DUT industriel qui veut intégrer une école d'ingénieur, sur
%concours  ou sur dossier. La durée de formation est de un an, sans possibilité
%de  redoublement. Il existe en France 31 classes de ce type. Pour de plus
%amples  renseignements, vous pouvez consulter le site internet du lycée
% 
% http://www.lycee-vieljeux.fr/cpge/ats.html
% 
% et/ou me contacter par mail à l'adresse ci-dessus.


\end{document}
