% Modèle de document en LaTeX
%Version 1.5 du 26/11/2002
% Auteur : Michel Gosse

% Utilisation : il suffit de commenter ou de
% décommenter les lignes voulues.

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
% Chargement des fontes mathématiques

% Choix des polices de caractèrs :
%\usepackage{times}
% On utilise la police times
%\usepackage{palatino,euler}
% police palatino pour le texte et euler pour les maths


\usepackage{fancybox}
% Package pour fabriquer des boites
% On insère une boite ombrée par la commande :
% \shadowbox{texte à mettre en boite}

\usepackage{lastpage}
%Package pour numéroter les pages par
% rapport à la dernière. La commande
% \thepage
% renvoie le numéro de la page courante
%  \pageref{LastPage}
% renvoie le numéro de la dernière page du document.
% Il faut compiler deux fois le document.

\usepackage{geometry}
%package pour gérer la taille des marges
%pour avoir une marge horizontale de 1,5 cm et
% une marge verticale de 1,5 cm
\geometry{ hmargin=1.5cm, vmargin=1.5cm }

%\usepackage{fancyhdr}
% package pour faire des entêtes
%On décommente les lignes suivantes :
%  \pagestyle{fancy}
% \lhead{en tête en haut à gauche}
% \chead{ en tête en haut au centre}
%  \rhead{en-tête en haut à droite}
% \lfoot{en-tête en bas à gauche}
% \cfoot{en-tête en bas au centre}
% \rfoot{en-tête en bas à droite}

\usepackage{multicol}
% permet de faire du multicolonnage.
% Pour insérer deux colonnes :
% \begin{multicols}{2}
%insérer votre texte
% \end{multicols}

%\usepackage{nopageno}
% permet de ne pas numeroter les pages

%\usepackage{enumerate}
%permet de faire des listes personnalisées
% Par exemple :
% \begin{enumerate}[argument] où argument vaut :
% A : \item produira A. B.....
% a : \item produira a. b.
% I : \item produira I, II, IIi
% i : \item produira i, ii, iii..
% 1: \item produira 1, 2, 3
% EX i : \item produira EX i., EX ii,
% {A}-I \item produira A-I, A-II,...
% \end{enumerate}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
% Ces deux packages gèrent le français et
% permettent l'utilisation des lettres accentuées.

\usepackage{eurosym}
% gestion du symbole euro
% à utiliser avec :
% \euro{} ou  \geneuro{} ou \geneuronarrow{} ou \geneurowide
\usepackage{ulem}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}


% copyright Franck Herbert
% compilation avec les options pdftex ou dvips
% pour les packages graphicx et hyperref.

\newif \ifpdf
    \ifx \pdfoutput \undefined
        \pdffalse
    \else
        \pdftrue
\fi

\ifpdf
    \pdfinfo { /Author (your name and e-mail address)
               /Title  (official title -- i.e., title element)
               /Subject (one line description of the document)
    }
    \pdfcatalog { /PageMode (/UseNone)
              % /OpenAction (fitbh)
    }
   \usepackage{pslatex}
   \usepackage[pdftex]{graphicx}
    \usepackage[pdftex]{hyperref}
\else
   \usepackage[dvips]{graphicx}
    \usepackage[ps2pdf]{hyperref}
   \fi

% Gestion des graphiques avec le package graphicx :
% On insère le graphique fig.eps avec une
% échelle de 1 par la commande :
% \includegraphics[scale=1]{fig.eps}

%Gestion des liens avec le package hyperref :
%\href{url}{texte pour faire un lien}


%*******Macros diverses ***********

% Définit un environnement exercice avec un compteur
% usage :
% \begin{exercice}
%\end{exercice}
\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\Roman{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~:}}}
\newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm}

% Pour avoir de jolis vecteurs.
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}

% Ensembles R, C, N, Z et D
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

% Repère (O,i,j)
%usage : \Rij
\newcommand{\Rij}{(O~;~\V{i},~\V{j})}
% Repère (O;u,v)
\newcommand{\Ruv}{(O~;~\V{u},~\V{v})}
%Repère (O, i, j, k)
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\V{i},~ \V{j},~ \V{k}\right)$}
% un autre repère (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre repère (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\newcommand{\tn}[1]{~~~~\textnormal{#1}~~~~}
\newcommand{\e}{{\rm e}}
\newcommand{\dd}{~{\rm d}}
\newcommand{\ii}{\rm i}
%*********Fin des macros***********




% Début du document

\begin{document}
 \begin{center} \Large \textbf{Mathématiques -
 brevet de technicien supérieur \\ session 2006 - groupement B
 \\
 \'El\'ements  de correction}  \end{center}
 \vspace{4ex}
  %=========================début des exercices====================
 \noindent{ \large {\textbf{Exercice 1}}}
  \vspace{0.5cm}\\
 \textit{A. Résolution d'une équation différentielle}
\begin{enumerate}
    \item L'\'equation caract\'eristique associ\'ee à $(E_0)$ est :\[r^2-3r-4=0.\]
    Le disciminant $\Delta=9+16=25$ est stictement positif. L'\'equation caract\'eristique admet alors deux racines r\'elles distinctes $r_1=-1$ et $r_2=4$.\\
    Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $(E_0)$ sont alors les fonctions d\'efinies sur $\R$ par :
    \[y(x)=\lambda \text{e}^{-x}+\mu\text{e}^{4x} \quad \text{~avec ~} \lambda ~\mbox{et}~\mu ~\text{r\'eels}.\]
    \item On a, pour tout $x\in \R$, $h(x)=x\text{e}^{-x}.$\\
    Par d\'erivation, on obtient pour tout $x$ réel :
    \[h'(x)=\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x} \Leftrightarrow h'(x)=(1-x)\text{e}^{-x}.\]
    et
    \[h''(x)=-\text{e}^{-x}-(1-x)\text{e}^{-x}\Leftrightarrow h''(x)=(x-2)\text{e}^{-x}.\]
    En reportant dans $(E)$, on obtient :
    $$\begin{array}{r l }
    h''(x)-3h'(x)-4h(x)&=(x-2)\text{e}^{-x}-3(1-x)\text{e}^{-x}-4x\text{e}^{-x}\\
                       &=(x-2-3+3x-4x)\text{e}^{-x}\\
                       &=-5\text{e}^{-x}.
    \end{array}$$
    $h$ est donc une solution particuli\`ere de $(E)$.
    \item Les solutions de $(E)$ sont donn\'ees par la somme d'une solution particuli\`ere de $(E)$ et de la solution g\'en\'erale de l'\'equation homog\`ene associ\'ee $(E_0)$, d'o\`u les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y$ d\'efinies sur $\R$ par :
    \[y(x)=x\text{e}^{-x}+\lambda \text{e}^{-x}+\mu\text{e}^{4x} \quad \text{~avec ~} \lambda ~\mbox{et}~\mu ~\text{r\'eels}.\]
    \item On a $f(x)=x\text{e}^{-x}+\lambda \text{e}^{-x}+\mu\text{e}^{4x}$ d'où $f(0)=\lambda + \mu$.\\
    $f'(x)=(1-x)\text{e}^{-x}-\lambda\text{e}^{-x}+4\mu\text{e}^{4x}$ d'où $f'(0)=1-\lambda+4\mu$.\\
    On cherche la fonction $f$ solution particuli\`ere de $(E)$ telle que $f(0)=2$ et $f'(0)=-1$.\\
    On obtient alors le syst\`eme suivant :
    \[\left\{\begin{array}{ll}
    \lambda+\mu &=2\\
    -\lambda+4\mu& =-2
    \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}
    \lambda&=2\\
    \mu&=0 \end{array}\right. . \]
    La fonction $f$ est alors :
    \[f(x)=x\text{e}^{-x}+2\text{e}^{-x} \Leftrightarrow f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}.\]
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textit{B. \'Etude locale d'une fonction}
\begin{enumerate}
    \item Le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $3$, au voisinage de $0$, de la fonction exponentielle est :
    \[\text{e}^t=1+t+\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{6}+t^3 \varepsilon(t) \quad \text{avec}~\lim\limits_{t\to 0} \varepsilon(t)=0.\]
    En posant $t=-x$, on obtient :
    \[\text{e}^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x) \quad \text{avec}~\lim\limits_{x\to 0} \varepsilon(x)=0.\]
    Par produit avec $x-2$, il vient :
    \[\begin{array}{rl}
    (x+2)\text{e}^{-x}&=(x+2)\left(1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)\right)\\
                      &=2-2x+x^2-\dfrac{x^3}{3}+x-x^2+\dfrac{x^3}{2}+x^3\varepsilon(x) \quad \text{ne garder que les termes de degr\'e inf\'erieur \`a}~3\\
                      &=2-x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x).
     \end{array}\]
     Le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 3, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :
     \[f(x)=2-x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x) \quad \text{avec}~\lim\limits_{x\to 0} \varepsilon(x)=0.\]
    \item Une \'equation de la tangente $T$ \`a la courbe $C$ au point d'abscisse $0$ est donn\'ee par la partie affine du d\'eveloppement limit\'e de $f$ au voisinage de $0$. Alors, ici, $T$ a pour \'equation :
    \[y=2-x.\]
    \item Pour la position relative de $(C)$ et $(T)$ au voisinage de $0$, il faut \'etudier le signe de \[f(x)-(2-x)=\dfrac{x^3}{6}+x^3 \varepsilon(x),\]expression qui est du signe de $\dfrac{x^3}{6}$ au voisinage de $0$.\\
    $\bullet$~Pour $x<0$, $f(x)-(2-x)<0$ : la courbe $(C)$ est en dessous de la tangente $(T)$,\\
    $\bullet$~Pour $x=0$, $(T)$ et $C$ sont s\'ecantes,\\
    $\bullet$~Pour $x>0$, $f(x)-(2-x)>0$, la courbe $(C)$ est au-dessus de la tangente $(T)$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textit{C. Calcul int\'egral}
\begin{enumerate}
    \item On a :
    \[\begin{array}{rl}
    I&=\displaystyle \int_0^{0,6} f(x)~\text{d}x\\
     &=\displaystyle \int_0^{0,6} (x+2)\text{e}^{-x} ~\text{d}x.
    \end{array}\]
     On intègre par parties en posant :
     \[\begin{array}{rll}
     u(x)&=x+2 &\mbox{ alors } \quad u'(x)=1\\
     v'(x)&=\text{e}^{-x}   &\mbox{ alors }     \quad v(x)=-\text{e}^{-x}
     \end{array}\]
      d'où :
     \[\begin{array}{rl}
     I&=\left[-(x+2)\text{e}^{-x}\right]_0^{0,6}-\displaystyle \int_0^{0,6} - \text{e}^{-x} ~\text{d}x\\
      &=-2,6\text{e}^{-0,6}+2-\left[\text{e}^{-x}\right]_0^{0,6}\\
      &=-2,6\text{e}^{-0,6}+2-\text{e}^{-0,6}+1\\
      &=3-3,6\text{e}^{-0,6}.
     \end{array}\]
    \item $I\approx 1,024.$
    \item Comme la courbe $(C)$ est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x\geq -2$, $I$ est l'aire du domaine d\'elimit\'e par l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees, la courbe $(C)$ et la droite d'\'equation $x=0,6$. Cette aire mesure environ $1,024$ unit\'es d'aire.
\end{enumerate}
 %==================fin d'exercice================================
 \newpage
 \noindent{ \large {\textbf{Exercice 2 }}}
 \vspace{0.5ex}\\
  \noindent \textit{A. Ajustement affine}
  \begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item \`A l'aide de la calcultrice, on obtient un coefficient de corr\'elation lin\'eaire $r\approx 0,98$ arrondi \`a $10^{-2}$.
    \item Avec les arrondis impos\'es, la droite de r\'egression lin\'eaire de $y$ en $x$ a pour \'equation \[y=0,406x+15.\]
    \end{enumerate}
    \item Pour conna\^itre une estimation au rang $7$, il suufit de remplacer $x$ par $7$ dans l'expression pr\'ec\'edente. On obtient $y\approx 17,842$.\\ Au rang $7$, $\nombre{ 17842}$ chaudi\`eres seront fabriqu\'ees en supposant que la tendance actuelle se poursuive.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textit{B. Probabilit\'es conditionnelles}
\begin{enumerate}
    \item D'apr\`es l'\'enonc\'e, on a :
\begin{itemize}
    \item $P(A)=\dfrac{900}{1500}\Leftrightarrow P(A)=0,6$.
    \item $P(B)=\dfrac{600}{1500}\Leftrightarrow P(B)=0,4$.
    \item $P(D/A)=\dfrac{1}{100}\Leftrightarrow P(D/A)=0,01$.
    \item $P(D/B)=\dfrac{5}{100}\Leftrightarrow P(D/B)=0,05$.
\end{itemize}
\item $P(D\cap A)=P(A)\times P(D/A)$ d'o\`u $P(D \cap A)=0,006$.\\
De m\^eme, on a : $P(D\cap B)= P(B) \times P(D/B)$ d'o\`u $P(D \cap B)=0,02$.
\item
 Calculons $P(D)$ :
\[\begin{array}{rl}
P(D)&=P\left( (D\cap A) \cup (D \cap B) \right)\\
    &=P(D \cap A)+ P(D \cap B) \quad \text{car les \'ev\'enements }~ (D\cap A) ~\text{et}~(D \cap B)~ \text{sont incompatibles}\\
    &=0,006+0,02\\
    &=0,026.
\end{array}\]
On a $P(\overline{D})=1-P(D)$ d'o\`u $P(\overline{D})=0,974$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textit{C. Loi normale}\\
$X$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'\'ecart-type $3$, alors la variable aléatoire $T=\dfrac{X-15}{3}$ suit la loi normale centr\'ee r\'eduite.\\
 Calculons $P(X\geq 10)$ :
\[\begin{array}{rl}
    P(X\geq 10)&=1-P(X\leq 10)\\
               &=1-P\left(T\leq \dfrac{10-15}{3}\right)\\
               &=1-P\left(T\leq -\dfrac{5}{3}\right) \\
               &=1-\Pi \left(-\dfrac{5}{3}\right)\\
               &=1-\left(1-\Pi\left(\dfrac{5}{3}\right)\right)\\
               &=\Pi\left(\dfrac{5}{3}\right)\\
               &\approx \Pi(1,67)\\
               &\approx 0,952.
         \end{array}\]
\vspace{0.5cm}\\
\textit{D. Intervalle de confiance}
\begin{enumerate}
    \item Une estimation ponctuelle de la fr\'equence inconnue $p$ des chaudi\`eres de ce stock qui sont sans aucun d\'efaut est $\widehat{p}=\dfrac{94}{100}=0,94.$
    \item Un intervalle de confiance de la fr\'equence $p$ avec le coefficient de confiance de $95\%$ est  \[\left[\widehat{p}-t\sqrt{ \dfrac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n-1}}~;~\widehat{p}+t\sqrt {\dfrac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n-1}}\right]\]
    avec $\widehat{p}=0,94$, $n=100$, et $t$ tel que $2\Pi(t)-1=0,95$.\\
    $\Pi(t)=\dfrac{1,95}{2}=0,975.$ La table nous donne $t=1,96$.\\
    L'intervalle de confiance de $p$ avec le coefficient de confiance de $95\%$ est alors :
\[[0,89~;~ 0,99].\]
\item Non, la fr\'equence $p$ n'appartient pas n\'ecessairement \`a l'intervalle de confiance.
\end{enumerate}

\end{document}    % fin du document

% Avec Mathematica :
%SetDirectory["C:/Documents and Settings/jlc/Mes documents/Docwin/2004-2005/exam2005"]
% Display["nom_fic.eps",   Plot[ ... ]       , "EPS"];
%\begin{center}
%    \includegraphics[scale=1]{bezier.4} % adpater le facteur d'échelle
%\end{center}
%avec Maple :
%#plotsetup(ps,plotoutput=`C:/Documen..../s4/fig.eps`,plotoptions=`color,noborder`);
%#plotsetup(inline);
