% Modèle de document en LaTeX
%Version 1.5 du 26/11/2002
% Auteur : Michel Gosse

% Utilisation : il suffit de commenter ou de
% décommenter les lignes voulues.

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
% Chargement des fontes mathématiques

% Choix des polices de caractèrs :
%\usepackage{times}
% On utilise la police times
%\usepackage{palatino,euler}
% police palatino pour le texte et euler pour les maths


\usepackage{fancybox}
% Package pour fabriquer des boites
% On insère une boite ombrée par la commande :
% \shadowbox{texte à mettre en boite}

\usepackage{lastpage}
%Package pour numéroter les pages par
% rapport à la dernière. La commande
% \thepage
% renvoie le numéro de la page courante
%  \pageref{LastPage}
% renvoie le numéro de la dernière page du document.
% Il faut compiler deux fois le document.

\usepackage{geometry}
%package pour gérer la taille des marges
%pour avoir une marge horizontale de 1,5 cm et
% une marge verticale de 1,5 cm
\geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=1.5cm }

%\usepackage{fancyhdr}
% package pour faire des entêtes
%On décommente les lignes suivantes :
%  \pagestyle{fancy}
% \lhead{en tête en haut à gauche}
% \chead{ en tête en haut au centre}
%  \rhead{en-tête en haut à droite}
% \lfoot{en-tête en bas à gauche}
% \cfoot{en-tête en bas au centre}
% \rfoot{en-tête en bas à droite}

\usepackage{multicol}
% permet de faire du multicolonnage.
% Pour insérer deux colonnes :
% \begin{multicols}{2}
%insérer votre texte
% \end{multicols}

%\usepackage{nopageno}
% permet de ne pas numeroter les pages

\usepackage{enumerate}
%permet de faire des listes personnalisées
% Par exemple :
% \begin{enumerate}[argument] où argument vaut :
% A : \item produira A. B.....
% a : \item produira a. b.
% I : \item produira I, II, IIi
% i : \item produira i, ii, iii..
% 1: \item produira 1, 2, 3
% EX i : \item produira EX i., EX ii,
% {A}-I \item produira A-I, A-II,...
% \end{enumerate}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
% Ces deux packages gèrent le français et
% permettent l'utilisation des lettres accentuées.

\usepackage{eurosym}
% gestion du symbole euro
% à utiliser avec :
% \euro{} ou  \geneuro{} ou \geneuronarrow{} ou \geneurowide
\usepackage{ulem}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}


% copyright Franck Herbert
% compilation avec les options pdftex ou dvips
% pour les packages graphicx et hyperref.

\newif \ifpdf
    \ifx \pdfoutput \undefined
        \pdffalse
    \else
        \pdftrue
\fi

\ifpdf
    \pdfinfo { /Author (your name and e-mail address)
               /Title  (official title -- i.e., title element)
               /Subject (one line description of the document)
    }
    \pdfcatalog { /PageMode (/UseNone)
              % /OpenAction (fitbh)
    }
   \usepackage{pslatex}
   \usepackage[pdftex]{graphicx}
    \usepackage[pdftex]{hyperref}
\else
   \usepackage[dvips]{graphicx}
    \usepackage[ps2pdf]{hyperref}
   \fi

% Gestion des graphiques avec le package graphicx :
% On insère le graphique fig.eps avec une
% échelle de 1 par la commande :
% \includegraphics[scale=1]{fig.eps}

%Gestion des liens avec le package hyperref :
%\href{url}{texte pour faire un lien}


%*******Macros diverses ***********

% Définit un environnement exercice avec un compteur
% usage :
% \begin{exercice}
%\end{exercice}
\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\Roman{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~:}}}
\newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm}

% Pour avoir de jolis vecteurs.
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}

% Ensembles R, C, N, Z et D
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

% Repère (O,i,j)
%usage : \Rij
\newcommand{\Rij}{(O~;~\V{i},~\V{j})}
% Repère (O;u,v)
\newcommand{\Ruv}{(O~;~\V{u},~\V{v})}
%Repère (O, i, j, k)
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\V{i},~ \V{j},~ \V{k}\right)$}
% un autre repère (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre repère (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\newcommand{\tn}[1]{~~~~\textnormal{#1}~~~~}
\newcommand{\e}{{\rm e}}
\newcommand{\dd}{~{\rm d}}
\newcommand{\ii}{\rm i}
%*********Fin des macros***********




% Début du document

\begin{document}

 \begin{center} \Large \textbf{Mathématiques -
 brevet de technicien supérieur \\ session 2006 - groupement B}  \end{center}
 \vspace{4ex}
 %=========================début des exercices====================
 \noindent{ \large {\textbf{Exercice 1  (sur $11$ points)}}}
 \vspace{0.5cm}
 \begin{center}
 \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
 \end{center}
 \noindent \textit{A. Résolution d'une équation différentielle}\\
 On considère l'\'equation différentielle $(E)$ : $y''-3y~'-4y=-5\text{e}^{-x}$\\
 o\`{u} $y$ est une fonction de la variable r\'{e}elle $x,$ d\'{e}finie et deux fois
d\'{e}rivable sur $\R $, $y~'$ la fonction d\'{e}riv\'{e}e de $y$ et $y''$ sa fonction d\'eriv\'ee seconde.
\begin{enumerate}
    \item D\'eterminer les solutions sur $\R$ de l'\'equation diff\'erentielle $(E_0)$ : $y''-3y~'-4y=0.$
    \item Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $h(x)=x\text{e}^{-x}.$\\
    D\'emontrer que la fonction $h$ est une solution particuli\`ere de l'\'equation diff\'erentielle $(E_0).$
    \item En d\'eduire l'ensemble des solutions de l'\'equation diff\'erentielle $(E)$.
    \item D\'eterminer la solution $f$ de l\'equation diff\'erentielle $(E)$ qui v\'erifie les conditions initiales $f(0)=2$ et $f~'(0)=-1.$
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textit{B. \'Etude locale d'une fonction}\\
\noindent La courbe $C$ ci-dessous est la repr\'esentation graphique, dans un rep\`ere orthonormal $\Rij$, de la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}.$

\begin{center}
\begin{pspicture}(-4.2,-4.2)(4.2,4.2)

\psgrid
[gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=0](0,0)(-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none]{->}(0,0)(-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\psplot[linewidth=1.5pt,plotstyle=curve,plotpoints=150]{-2.38}
{4.1}{x 2 add 2.718 x neg exp mul}
\rput(1.2,1.8){$C$}
\rput(-0.4,1.1){$1$}
\rput(-0.4,2.1){$2$}
\rput(-0.4,3.1){$3$}
\rput(-0.4,-1.1){$-1$}
\rput(-0.4,-2.1){$-2$}
\rput(-0.4,-3.1){$-3$}
\rput(0.8,-0.2){$1$}
\rput(1.8,-0.2){$2$}
\rput(2.8,-0.2){$3$}
\rput(-1.2,-0.2){$-1$}
\rput(-2.4,-0.2){$-2$}
\rput(-3.4,-0.2){$-3$}
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
    \item D\'emontrer que le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $3$, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est
    \[f(x)=2-x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon (x) \mbox{ avec } \lim\limits_{x \to 0} \varepsilon (x)=0.\]
    \item D\'eduire du 1. une \'equation de la tangente $T$ \`a la courbe $C$ au point d'abscisse $0$.
    \item \'Etudier la position relative de $C$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textit{C. Calcul int\'egral}\\
On note $I=\displaystyle \int_0^{0,6} f(x)~\text{d}x.$
\begin{enumerate}
    \item \`A l'aide d'une int\'egration par parties, d\'emontrer que $I=3-3,6\text{e}^{-0,6}.$
    \item Donner la valeur approch\'ee arrondie \`a $10^{-3}$ de $I.$
    \item Donner une interpr\'etation graphique du nombre $I$.
\end{enumerate}
 %==================fin d'exercice================================
 \newpage
 \noindent{ \large {\textbf{Exercice 2 (sur $9$ points)}}}
 \vspace{0.5ex}\\
 \noindent Une entreprise fabrique des chaudi\`eres de deux types :
\begin{itemize}
    \item des chaudi\`eres dites \og \`a chemin\'ee\fg.
    \item des chaudi\`eres dites \og \`a ventouse \fg.
\end{itemize}
 \begin{center}
 \textbf{Les quatre  parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
 \end{center}
  \noindent \textit{A. Ajustement affine}\\
  Le nombre de chaudi\`eres fabriqu\'ees lors des ann\'ees pr\'ec\'edentes est donn\'e par le tableau suivant :
 $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
 \text{Rang de l'ann\'ee : } x_i &   0   &   1  & 2  &  3  &  4  &  5  \\
 \hline
 \text{Nombre de chaudi\`eres fabriqu\'ees par milliers : } y_i & 15,35 & 15,81& 16,44 & 16,75& 17,19 & 17,30\\
 \hline
 \end{array}$$
\begin{enumerate}
    \item \`A l'aide de la calculatrice, d\'eterminer :
\begin{enumerate}
    \item le coefficient de corr\'elation lin\'eaire de la s\'erie statistique double de variables $x$ et $y$ ; arrondir \`a $10^{-2}$ ;
    \item une \'equation de la droite de r\'egression de $y$ en $x$, sous la forme $y=ax+b$, o\`u $a$ sera arrondi \`a $10^{-3}$ et $b$ sera arrondi \`a l'unit\'e.
\end{enumerate}
\item En supposant que la tendance observ\'ee se poursuive pendant deux ann\'ees, estimer le nombre de chaudi\`eres qui seront fabriqu\'ees l'ann\'ee de rang $7$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textit{B. Probabilit\'es conditionnelles}\\
\noindent L'entreprise a fabriqu\'e en un mois $900$ chaudi\`eres \`a chemin\'ee et $600$ chaudi\`eres \`a ventouse. Dans ce lot, $1\%$ des chaudi\`eres \`a chemin\'ee sont d\'efectueuses et $5\%$ des chaudi\`eres \`a ventouse sont d\'efectueuses.\\
On pr\'el\`eve au hasard une chaudi\`ere dans la production de ce mois. Toutes les chaudi\`eres ont la même probabilit\'e d'\^etre pr\'elev\'ees.
On consid\`ere les \'ev\'enements suivants :
\begin{enumerate}[A : ]
    \item \og La chaudi\`ere est \`a chemin\'ee \fg ;
    \item \og La chaudi\`ere est \`a ventouse \fg ;
    \item \og La chaudi\`ere pr\'esente un d\'efaut \fg ;
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
    \item D\'eterminer $P(A)$, $P(B)$, $P(D/A)$ et $P(D/B).$
    \item Calculer $P(D \cap A)$ et $P(D\cap B).$
    \item En remarquant que $D=(D\cap A) \cup (D \cap B)$ et que les \'ev\'enements $D\cap A$ et $D\cap B$ sont incompatibles, calculer $P(D)$ et $P(\bar{D}).$
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textit{C. Loi normale}\\
Soit $X$ la variable al\'eatoire qui, à chaque chaudi\`ere \`a chemin\'ee pr\'elev\'ee au hasard dans la production, associe sa dur\'ee de fonctionnement en ann\'ees.\\
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'\'ecart-type $3$.\\
Une chaudi\`ere est dite \og amortie\fg~si sa dur\'ee de fonctionnement est sup\'erieure ou \'egale \`a $10$ ans.\\
Calculer la probabilit\'e qu'une chaudi\`ere pr\'elev\'ee au hasard dans la production soit \og amortie \fg  ; arrondir \`a $10^{-3}.$
\vspace{0.5cm}\\
\textit{D. Intervalle de confiance}\\
On consid\`ere un \'echantillon de $100$ chaudi\`eres pr\'elev\'ees au hasard dans un stock important.\\ Ce stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage \`a un tirage avec remise.\\
On constate que $94$ chaudi\`eres sont sans aucun d\'efaut.
\begin{enumerate}
    \item Donner une estimation ponctuelle de la fr\'equence inconnue $p$ des chaudi\`eres de ce stock qui sont sans aucun d\'efaut.
    \item Soit $F$ la variable al\'eatoire qui, \`a tout \'echantillon de $100$ chaudi\`eres pr\'elev\'ees au hasard et avec remise dans ce stock, associe la fr\'equence des chaudi\`eres de cet \'echantillon qui sont sans aucun d\'efaut.\\
    On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'\'ecart-type $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{100}}$, o\`u $p$ est la fr\'equence inconnue des chaudi\`eres du stock qui sont sans aucun d\'efaut.\\
    D\'eterminer un intervalle de confiance de la fr\'equence $p$ avec le coefficient de confiance $95\%.$ Arrondir les bornes \`a  $10^{-2}.$
    \item On consid\`ere l'affirmation suivante : \og la fr\'equence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu \`a la question 2 \fg.\\
    Est-elle vraie ? (0n ne demande pas de justification).
\end{enumerate}
\end{document}    % fin du document

% Avec Mathematica :
%SetDirectory["C:/Documents and Settings/jlc/Mes documents/Docwin/2004-2005/exam2005"]
% Display["nom_fic.eps",   Plot[ ... ]       , "EPS"];
%\begin{center}
%    \includegraphics[scale=1]{bezier.4} % adpater le facteur d'échelle
%\end{center}
%avec Maple :
%#plotsetup(ps,plotoutput=`C:/Documen..../s4/fig.eps`,plotoptions=`color,noborder`);
%#plotsetup(inline);
