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\begin{document}


\title{\textbf{\MONTITRE}}
\date{}
\maketitle



\begin{exercice}
\textit{A. Equation diff\'{e}rentielle.}
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item  Sur $\left]  -1;+\infty\right[  ,$ l'\'{e}quation peut s'\'{e}crire
$y^{\prime}=-\frac{1}{1+x}y.$\newline La fonction $A$ d\'{e}finie sur $\left]
-1;+\infty\right[  $ par $A\left(  x\right)  =\ln\left(  1+x\right)  $ est une
primitive sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ de la fonction $a$ d\'{e}finie sur
$\left]  -1;+\infty\right[  $ par $a\left(  x\right)  =\frac{1}{1+x}$%
\newline On en d\'{e}duit (voir formulaire) la solution g\'{e}n\'{e}rale de
$\left(  E\right)  :y=ke^{-\ln\left(  1+x\right)  }=ke^{\ln\frac{1}{1+x}%
}=\frac{k}{1+x}$ o\`{u} $k$ d\'{e}signe une constante r\'{e}elle quelconque.

\item $g$ est d\'{e}rivable sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ et $\forall
x\in\left]  -1;+\infty\right[  :g^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{\frac
{1}{1+x}\left(  1+x\right)  -\ln\left(  1+x\right)  }{\left(  1+x\right)
^{2}}=\frac{1-\ln\left(  1+x\right)  }{\left(  1+x\right)  ^{2}}$\newline De
plus, $\forall x\in\left]  -1;+\infty\right[  :\left(  1+x\right)  g^{\prime
}\left(  x\right)  +g\left(  x\right)  =\left(  1+x\right)  \frac{1-\ln\left(
1+x\right)  }{\left(  1+x\right)  ^{2}}+\frac{\ln\left(  1+x\right)  }%
{1+x}=\frac{1}{1+x}$\newline Donc $g$ est solution de $\left(  E\right)  $

\item \textbf{Th\'{e}or\`{e}me : }\textit{La solution g\'{e}n\'{e}rale de
l'\'{e}quation }$y^{\prime}=a\left(  x\right)  y+b\left(  x\right)
\mathit{\ }$\textit{peut} \textit{s'obtenir en ajoutant, \`{a} une solution
particuli\`{e}re de cette \'{e}quation, la solution g\'{e}n\'{e}rale de
l'\'{e}quation homog\`{e}ne associ\'{e}e} : $y^{\prime}=a\left(  x\right)
y.$\newline On en d\'{e}duit que la solution g\'{e}n\'{e}rale de $\left(
E\right)  $ peut s'\'{e}crire : $y=\frac{k+\ln\left(  1+x\right)  }{1+x}$

\item $f$ \'{e}tant solution de $\left(  E\right)  :f\left(  x\right)
=\frac{k+\ln\left(  1+x\right)  }{1+x}$\newline $f\left(  0\right)
=2\Rightarrow k=2\Rightarrow f\left(  x\right)  =\frac{2+\ln\left(
1+x\right)  }{1+x}$
\end{enumerate}

\textit{B. Etude de fonction}

\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x\rightarrow-1}f\left(  x\right)  =-\infty$ donc la droite
d'\'{e}quation $x=-1$ est asymptote \`{a} $\mathcal{C}$\newline
$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =0$ donc la droite
d'\'{e}quation $y=0$ est asymptote \`{a} $\mathcal{C}$ vers $+\infty.$

\item
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in\left]  -1;+\infty\right[  :f^{\prime}\left(  x\right)
=\frac{\frac{1}{1+x}\left(  1+x\right)  -\left[  2+\ln\left(  1+x\right)
\right]  }{\left(  1+x\right)  ^{2}}=\frac{-1-\ln\left(  1+x\right)  }{\left(
1+x\right)  ^{2}}$

\item $-1-\ln\left(  1+x\right)  \geq0\Leftrightarrow\ln\left(  1+x\right)
\leq-1=\ln\frac{1}{e}\Leftrightarrow1+x\leq\frac{1}{e}$ car $\ln$ est
strictement croissante sur $\left]  0;+\infty\right[  .$\newline Finalement :
$-1-\ln\left(  1+x\right)  \geq0\Leftrightarrow x\leq-1+\frac{1}{e}$%
\newline Un carr\'{e} \'{e}tant toujours positif, on en d\'{e}duit le signe de
$f^{\prime}\left(  x\right)  :$\newline
\begin{tabular}
[c]{cccccc}%
$x$ & $-1$ &  & $-1+\frac{1}{e}$ &  & $+\infty$\\\hline
$f^{\prime}\left(  x\right)  $ & $\Vert$ & $+$ & $0$ & $-$ &
\end{tabular}
\medskip

\item \everymath{\textstyle}
\begin{tabular}
[c]{l}%
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(5.3,0.5) \rput(0.4,-0.25){{\small$x$}}%
\rput(0.4,-0.75){{\small$f'(x)$}} \rput(0.4,-1.75){{\small$f(x)$}}%
\rput(1.2,-2.25){{\small$-\infty$}} \rput(2,-0.75){{\small$+$}} \psset
{linewidth=0.2pt} \psline{->}(1.6,-2)(2.4,-1.5) \rput(2.8,-1.25){{\small$e$}}%
\rput(3.6,-0.75){{\small$-$}} \rput(4.4,-2.25){{\small$0$}} \rput
(1.2,-0.25){{\small$-1$}} \rput(4.4,-0.25){{\small$+\infty$}} \psline
{->}(3.2,-1.5)(4,-2) \psline(0,-0.5)(4.8,-0.5) \psline
(1.1733,-0.5)(1.1733,-2) \psline(1.2267,-0.5)(1.2267,-2) \rput
(2.8,-0.75){{\small$0$}} \psline(0,-1)(4.8,-1) \psset{linewidth=0.8pt}%
\psline(0,-1)(4.8,-1) \psline(0.8,0)(0.8,-2.5) \psline(0,-0.5)(4.8,-0.5) \rput
(2.8,-0.25){{\small$-1+\frac{1}{e}$}} \end{pspicture}%
\end{tabular}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  La troncature \`{a} l'ordre un de la partie r\'{e}guli\`{e}re du
d\'{e}veloppement limit\'{e} de $f$ au voisinage de 0 permet d'\'{e}noncer
qu'une \'{e}quation de la tangente au point d'abscisse 0 peut s'\'{e}crire : $y=2-x$

\item $f\left(  x\right)  -\left(  2-x\right)  =\frac{1}{2}x^{2}%
+x^{2}\varepsilon\left(  x\right)  $ a m\^{e}me signe, au voisinage de 0, que
$\frac{1}{2}x^{2}$\newline Donc, au voisinage de 0, $f\left(  x\right)
-(2-x)\geq0$ c'est \`{a} dire que la courbe est au dessus de la tangente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textit{C. Int\'{e}gration}

\begin{enumerate}
\item $\forall x\in\left]  -1;+\infty\right[  :G^{\prime}\left(  x\right)
=\frac{1}{2}2\ln\left(  1+x\right)  \frac{1}{1+x}=\frac{\ln\left(  1+x\right)
}{1+x}$

\item $f\left(  x\right)  =\frac{2}{1+x}+\frac{\ln\left(  1+x\right)  }%
{1+x}=\frac{2}{1+x}+G^{\prime}\left(  x\right)  \Rightarrow F\left(  x\right)
=2\ln\left(  1+x\right)  +G\left(  x\right)  $\newline D'o\`{u} $F\left(
x\right)  =2\ln\left(  1+x\right)  +\frac{1}{2}\left[  \ln\left(  1+x\right)
\right]  ^{2}$

\item
\begin{enumerate}
\item $I=\int_{0}^{2}f\left(  x\right)  \,dx=\left[  F\left(  x\right)
\right]  _{0}^{2}=F\left(  2\right)  -F\left(  0\right)  =2\ln3+\frac{1}%
{2}\left(  \ln3\right)  ^{2}$

\item  A 10$^{-2}$ pr\`{e}s : $I=2,80$

\item $f\geq0$ sur $\left[  0;2\right]  $ donc $I$ repr\'{e}sente l'aire, en
unit\'{e}s d'aire, de la surface d\'{e}limit\'{e}e par la courbe
$\mathcal{C},$ l'axe des abscisses et les droites d'\'{e}quation $x=0$ et
$x=2\bigskip$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{exercice}
\textit{A. Loi normale}\medskip
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item $X_{1}\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  90;0,17\right)  \Leftrightarrow
X_{1}^{\ast}=\frac{X_{1}-90}{0,17}\hookrightarrow\mathcal{N}\left(
0;1\right)  $\newline $P\left(  89,6\leq X_{1}\leq90,4\right)  =P\left(
\frac{-0,4}{0,17}\leq X_{1}^{\ast}\leq\frac{0,4}{0,17}\right)  =2\Pi\left(
\frac{0,4}{0,17}\right)  -1=2\,\Pi\left(  2,35\right)  -1=2\times
0,9906-1=0,9812=0,98$ \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s

\item $D\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  90;\sigma_{1}\right)
\Leftrightarrow D^{\ast}=\frac{D-90}{\sigma_{1}}\hookrightarrow\mathcal{N}%
\left(  0;1\right)  $\newline $P\left(  89,6\leq D\leq90,4\right)
=0,99\Leftrightarrow P\left(  -\frac{0,4}{\sigma_{1}}\leq D^{\ast}\leq
\frac{0,4}{\sigma_{1}}\right)  =0,99\Leftrightarrow2\Pi\left(  \frac
{0,4}{\sigma_{1}}\right)  -1=0,99$\newline D'o\`{u} $\Pi\left(  \frac
{0,4}{\sigma_{1}}\right)  =0,995$ puis $\frac{0,4}{\sigma_{1}}=2,575$ et enfin
$\sigma_{1}=\frac{0,4}{2,575}=0,16$ \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s.$\bigskip$
\end{enumerate}

\textit{B. Loi binomiale}\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour chaque rondelle pr\'{e}lev\'{e}e dans le stock, il y a deux issues
possibles : Son diam\`{e}tre est d\'{e}fectueux ou pas.\newline Le
pr\'{e}l\`{e}vement \'{e}tant assimil\'{e} \`{a} un tirage avec remise, il y a
ind\'{e}pendance : La probabilit\'{e} d'obtenir une rondelle avec un
diam\`{e}tre d\'{e}fectueux est la m\^{e}me \`{a} chaque tirage.\ C'est
$p=0,02.$\newline On effectue $n=4$ tirages.\newline Donc $Y_{1}%
\hookrightarrow\mathcal{B}\left(  n;p\right)  =\mathcal{B}\left(
4;0,02\right)  $

\item  Si $Y_{1}\hookrightarrow\mathcal{B}\left(  n;p\right)  :P\left(
Y_{1}=k\right)  =C_{n}^{k}p^{k}\left(  1-p\right)  ^{n-k}.$\newline D'o\`{u}
$P\left(  Y_{1}=0\right)  =C_{4}^{0}0,02^{0}\left(  1-0,02\right)
^{4-0}=0,98^{4}=0,922$ \`{a} 10$^{-3}$ pr\`{e}s.

\item $P\left(  Y_{1}\leq1\right)  =P\left(  Y_{1}=0\right)  +P\left(
Y_{1}=1\right)  =0,98^{4}+4\times0,02\times0,98^{3}=0,998$ \`{a} 10$^{-3}$
pr\`{e}s.$\bigskip$
\end{enumerate}

\textit{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.}\medskip

\begin{enumerate}
\item  Lorsqu'on approche la loi de $Y_{2}$ par la loi de $Z,$ on doit
conserver les caract\'{e}ristiques de $Y_{2},$ \`{a} savoir : Esp\'{e}rance et
\'{e}cart-type.\newline $E\left(  Y_{2}\right)  =1000\times0,02=20$ et
$\sigma\left(  Y_{2}\right)  =\sqrt{1000\times0,02\times0,98}=4,43$\newline Il
faut donc que $E\left(  Z\right)  =20$ et $\sigma\left(  Z\right)  =4,43.$
Donc $Z\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  20;4,43\right)  $

\item $Z\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  20;4,3\right)  \Leftrightarrow
Z^{\ast}=\frac{Z-20}{4,43}\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  0;1\right)
$\newline $P\left(  Z\leq15,5\right)  =P\left(  Z^{\ast}\leq\frac{-4,5}%
{4,43}\right)  =\Pi\left(  -\frac{4,5}{4,43}\right)  =\Pi\left(  -1,02\right)
=1-\Pi\left(  1,02\right)  =1-0,8461=0,1539=0,15$ \`{a} 10$^{-2}$
pr\`{e}s.$\bigskip$
\end{enumerate}

\textit{C. Test d'hypoth\`{e}se}\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pr\'{e}l\`{e}ve un \'{e}chantillon de 100 rondelles et on calcule la
moyenne $\bar{x}$ des diam\`{e}tres de ces 100 rondelles.\newline Si $\bar
{x}\in\left[  89,967;90,033\right]  $ on accepte l'hypoth\`{e}se $H_{0}%
:\mu=90$\newline Sinon, on accepte $H_{1}:\mu\neq90.$

\item $\bar{x}$ appartient \`{a} l'intervalle d'acceptation de $H_{0},$ donc,
au seuil de risque de 5\%, on peut conclure que la livraison est conforme pour
le diam\`{e}tre.
\end{enumerate}
\end{document}