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\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newcommand\MonTitre{BTS Groupement B Session 2005}
\let\MONTITRE=\MonTitre
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\parindent=0cm
\topsep=0cm



\begin{document}


\title{\textbf{\MONTITRE}}
\date{}
\maketitle



\begin{exercice}
[11 points]\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent \^{e}tre
trait\'{e}es de fa\c{c}on ind\'{e}pendante.}$\bigskip$
\end{exercice}

\textit{A. R\'{e}solution d'une \'{e}quation diff\'{e}rentielle}\medskip

On consid\`{e}re l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  :$%
\[
\left(  1+x\right)  y^{\prime}+y=\frac{1}{1+x}%
\]
o\`{u} $y$ est une fonction de la variable r\'{e}elle $x,$ d\'{e}finie et
d\'{e}rivable sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ et $y^{\prime}$ sa fonction
d\'{e}riv\'{e}e.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que les solutions sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ de
l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left(  E_{0}\right)  :$%
\[
\left(  1+x\right)  y^{\prime}+y=0
\]
sont les fonctions d\'{e}finies par $h\left(  x\right)  =\frac{k}{x+1}$ o\`{u}
$k$ est une constante r\'{e}elle quelconque.

\item  Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ par
$g\left(  x\right)  =\frac{\ln\left(  1+x\right)  }{1+x}$\newline
D\'{e}montrer que la fonction $g$ est une solution particuli\`{e}re de
l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  .$

\item  En d\'{e}duire l'ensemble des solutions de l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  .$

\item  D\'{e}terminer la solution $f$ de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle
$\left(  E\right)  $ qui v\'{e}rifie la condition initiale $f\left(  0\right)
=2.\bigskip$
\end{enumerate}

\textit{B. Etude d'une fonction}\medskip

Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ par
$f\left(  x\right)  =\frac{2+\ln\left(  1+x\right)  }{1+x}$

Sa courbe repr\'{e}sentative $\mathcal{C}$, dans un rep\`{e}re orthonormal
o\`{u} l'unit\'{e} graphique est 1 cm, est donn\'{e}e ci-dessous.

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psgrid
[gridcolor=blue,gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=0](0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotstyle=curve,plotpoints=150]{-0.9}
{9.5}{1 x add ln 2 add 1 x add div}
\rput(1.2,1.8){$C$}
\rput(-0.2,1.4){1}
\rput(0.6,-0.2){1}
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On admet que $\lim\limits_{x\rightarrow-1}f\left(  x\right)  =-\infty$
et que $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =0.$\newline Que
peut-on en d\'{e}duire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, pour tout $x$ de $\left]  -1;+\infty\right[
,\;f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{-1-\ln\left(  1+x\right)  }{\left(
1+x\right)  ^{2}}$

\item  R\'{e}soudre dans $\left]  -1;+\infty\right[  $ l'in\'{e}quation
$-1-\ln\left(  1+x\right)  \geq0.$\newline En d\'{e}duire le signe de
$f^{\prime}\left(  x\right)  $ lorsque $x$ varie dans $\left]  -1;+\infty
\right[  .$

\item  Etablir le tableau de variation de $f.$
\end{enumerate}

\item  Un logiciel de calcul formel donne le d\'{e}veloppement limit\'{e},
\`{a} l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f:$%
\[
f\left(  x\right)  =2-x+\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\,\varepsilon\left(  x\right)
\text{ avec }\lim\limits_{x\rightarrow0}\varepsilon\left(  x\right)  =0
\]
\newline \textit{Ce r\'{e}sultat, admis, n'a pas \`{a} \^{e}tre d\'{e}%
montr\'{e}.}

\begin{enumerate}
\item  En d\'{e}duire une \'{e}quation de la tangente $\mathcal{T}$ \`{a} la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

\item  Etudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ au
voisinage de leur point d'abscisse 0.$\bigskip$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textit{C. Calcul int\'{e}gral}\medskip

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $G$ d\'{e}finie sur
$\left]  -1;+\infty\right[  $ par :%
\[
G\left(  x\right)  =\frac{1}{2}\left[  \ln\left(  1+x\right)  \right]  ^{2}%
\]

\item  En d\'{e}duire qu'une primitive de $f$ sur $\left]  -1;+\infty\right[
$ est d\'{e}finie par :%
\[
F\left(  x\right)  =2\ln\left(  1+x\right)  +\frac{1}{2}\left[  \ln\left(
1+x\right)  \right]  ^{2}%
\]

\item
\begin{enumerate}
\item  On note $I=\int_{0}^{2}f\left(  x\right)  \,dx.$ D\'{e}montrer que
$I=\frac{1}{2}\left(  \ln3\right)  ^{2}+2\ln3.$

\item  Donner la valeur approch\'{e}e arrondie \`{a} 10$^{-2}$ de $I.$

\item  Donner une interpr\'{e}tation graphique du r\'{e}sultat obtenu au
(b)$\bigskip$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{exercice}
[9 points]\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent \^{e}tre
trait\'{e}es de fa\c{c}on ind\'{e}pendante.}
\end{exercice}

Une usine fabrique, en grande quantit\'{e}, des rondelles d'acier pour la
construction. Leur diam\`{e}tre est exprim\'{e} en millim\`{e}tres.

\textbf{Dans cet exercice, sauf indication contraire, les r\'{e}sultats
approch\'{e}s sont \`{a} arrondir \`{a} 10}$^{\mathbf{-2}}\bigskip$

\textit{A. Loi normale}\medskip

Une rondelle de ce mod\`{e}le est conforme pour le diam\`{e}tre lorsque
celui-ci appartient \`{a} l'intervalle $\left[  89,6;90,4\right]  .$

\begin{enumerate}
\item  On note $X_{1}$ la variable al\'{e}atoire qui, \`{a} chaque rondelle
pr\'{e}lev\'{e}e au hasard dans la production, associe son diam\`{e}tre. On
suppose que la variable al\'{e}atoire $X_{1}$ suit la loi normale de moyenne
90 et d'\'{e}cart-type $\sigma=0,17.$ Calculer la probabilit\'{e} qu'une
rondelle pr\'{e}lev\'{e}e au hasard dans la production soit conforme.

\item  L'entreprise d\'{e}sire am\'{e}liorer la qualit\'{e} de la production
des rondelles : Il est envisag\'{e} de modifier le r\'{e}glage des machines
produisant les rondelles.\newline On note $D$ la variable al\'{e}atoire qui,
\`{a} chaque rondelle pr\'{e}lev\'{e}e dans la production future, associera
son diam\`{e}tre. On suppose que la variable al\'{e}atoire $D$ suit une loi
normale de moyenne 90 et d'\'{e}cart-type $\sigma_{1}.$\newline D\'{e}terminer
$\sigma_{1}$ pour que la probabilit\'{e} qu'une rondelle pr\'{e}lev\'{e}e au
hasard dans la production future soit conforme pour le diam\`{e}tre soit
\'{e}gale \`{a} 0,99.$\bigskip$
\end{enumerate}

\textit{B. Loi binomiale}\medskip

On note $E$ l'\'{e}v\'{e}nement : \og une rondelle pr\'{e}lev\'{e}e au hasard
dans un stock important a un diam\`{e}tre d\'{e}fectueux\fg.

On suppose que $P\left(  E\right)  =0,02.$

On pr\'{e}l\`{e}ve au hasard quatre rondelles dans le stock pour
v\'{e}rification de leur diam\`{e}tre. Le stock est assez important pour que
l'on puisse assimiler ce pr\'{e}l\`{e}vement \`{a} un tirage avec remise de
quatre rondelles.

On consid\`{e}re la variable al\'{e}atoire $Y_{1}$ qui \`{a} tout
pr\'{e}l\`{e}vement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce
pr\'{e}l\`{e}vement ayant un diam\`{e}tre d\'{e}fectueux.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable al\'{e}atoire $Y_{1}$ suit une loi binomiale
dont on d\'{e}terminera les param\`{e}tres.

\item  Calculer la probabilit\'{e} que, dans un tel pr\'{e}l\`{e}vement,
aucune rondelle n'ait un diam\`{e}tre d\'{e}fectueux. Arrondir \`{a} 10$^{-3}.$

\item  Calculer la probabilit\'{e} que, dans un tel pr\'{e}l\`{e}vement, au
plus une rondelle ait un diam\`{e}tre d\'{e}fectueux. Arrondir \`{a}
10$^{-3}.\bigskip$
\end{enumerate}

\textit{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}\medskip

Les rondelles sont commercialis\'{e}es par lot de 1\thinspace000.

On pr\'{e}l\`{e}ve au hasard un lot de 1\thinspace000 dans un d\'{e}p\^{o}t de
l'usine. On assimile ce pr\'{e}l\`{e}vement \`{a} un tirage avec remise de
1\thinspace000 rondelles.

On consid\`{e}re la variable al\'{e}atoire $Y_{2}$ qui, \`{a} tout
pr\'{e}l\`{e}vement de 1\thinspace000 rondelles, associe le nombre de
rondelles non conformes parmi ces 1\thinspace000 rondelles.

On admet que la variable al\'{e}atoire $Y_{2}$ suit la loi binomiale de
param\`{e}tres $n=1\,000$ et $p=0,02.$ On d\'{e}cide d'approcher la loi de la
variable al\'{e}atoire $Y_{2}$ par la loi normale de moyenne 20 et
d'\'{e}cart-type 4,43.

On note $Z$ une variable al\'{e}atoire suivant la loi normale de moyenne 20 et
d'\'{e}cart-type 4,43.

\begin{enumerate}
\item  Justifier les param\`{e}tres de cette loi normale.

\item  Calculer la probabilit\'{e} qu'il y ait au plus 15 rondelles non
conformes dans le lot de 1\thinspace000 rondelles, c'est \`{a} dire calculer
$P\left(  Z\leq15,5\right)  \bigskip$
\end{enumerate}

\textit{D. Test d'hypoth\`{e}se}\medskip

On se propose de construire un test d'hypoth\`{e}se pour contr\^{o}ler la
moyenne $\mu$ de l'ensemble des diam\`{e}tres, en millim\`{e}tres, de
rondelles constituant une grosse livraison \`{a} effectuer.

On note $X_{2}$ la variable al\'{e}atoire qui, \`{a} chaque rondelle
pr\'{e}lev\'{e}e au hasard dans la livraison, associe son diam\`{e}tre.

La variable al\'{e}atoire $X_{2}$ suit la loi normale de moyenne inconnue
$\mu$ et d'\'{e}cart-type $\sigma=0,17.$

On d\'{e}signe par $\bar{X}_{2}$ la variable al\'{e}atoire qui, \`{a} chaque
\'{e}chantillon al\'{e}atoire de 100 rondelles pr\'{e}lev\'{e} dans la
livraison, associe la moyenne des diam\`{e}tres de ces rondelles (la livraison
est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces pr\'{e}l\`{e}vements
\`{a} des tirages avec remise).

L'hypoth\`{e}se nulle est $H_{0}:\mu=90.$ Dans ce cas la livraison est dite
conforme pour le diam\`{e}tre.

L'hypoth\`{e}se alternative est $H_{1}:\mu\neq90.$

Le seuil de signification du test est fix\'{e} \`{a} 0,05.

\begin{enumerate}
\item  Enoncer r\`{e}gle de d\'{e}cision permettant d'utiliser ce test en
admettant, sous l'hypoth\`{e}se nulle $H_{0}$, le r\'{e}sultat suivant qui n'a
pas \`{a} \^{e}tre d\'{e}montr\'{e} :%
\[
P\left(  89,967\leq\bar{X}_{2}\leq90,033\right)  =0,95
\]

\item  On pr\'{e}l\`{e}ve un \'{e}chantillon de 100 rondelles dans la
livraison et on observe que, pour cet \'{e}chantillon, la moyenne des
diam\`{e}tres est $\bar{x}=90,02.$\newline Peut-on, au seuil de risque de 5\%,
conclure que la livraison est conforme pour le diam\`{e}tre ?
\end{enumerate}
\end{document}