\documentclass[a4paper,french]{article}
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\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newcommand\MonTitre{BTS 2004 Groupement B : Eléments de correction}
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\begin{document}

\title{\textbf{\MONTITRE}}
\date{}
\author{}
\maketitle

\begin{exercice}
\textit{A. Loi normale }\textbf{Rappel : Tous les résultats sont donnés à }$10^{-2}$
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item $T=\frac{X-100}{0,25}\hookrightarrow\mathcal{N}\left( 0;1\right) $%
\newline
$P\left( 99,45\leq X\leq100,55\right) =P\left( \frac{-0,55}{0,25}\leq T\leq%
\frac{0,55}{0,25}\right) =2\Pi\left( \frac{0,55}{0,25}\right) -1=2\Pi\left(
2,2\right) -1=0,97$

\item $P\left( \frac{-h}{0,25}\leq T\leq\frac{h}{0,25}\right)
=0,95\Leftrightarrow2\Pi\left( \frac{h}{0,25}\right) -1=0,95\Leftrightarrow
\Pi\left( \frac{h}{0,25}\right) =0,975$\newline
D'où $\frac{h}{0,25}=1,96$ et donc $h=0,49$\newline
0,95 est la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production ait une longueur appartenant à l'intervalle $\left[ 99,51;100,49\right] .$
\end{enumerate}

\textit{B. Loi binomiale et loi de Poisson}

\begin{enumerate}
\item A chaque tige tirée au hasard, il y a deux issues possibles :\newline
\hspace{0.5cm}la tige est conforme pour la longueur\newline
\hspace{0.5cm}la tige n'est pas conforme pour la longueur\newline
Les tirages sont indépendants car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.\newline
Donc la probabilité d'obtenir une tige non conforme pour la longueur est la même à chaque tirage. C'est $p=0,03$\newline
On effectue $n=50$ tirages\newline
Donc $Y$ suit la binomiale $\mathcal{B}\left( 50;0,03\right) .$ On note $%
Y\hookrightarrow\mathcal{B}\left( 50;0,03\right) .$

\item $P\left( Y=2\right) =0,26$

\item $P\left( Y\leq2\right) =P\left( Y=0\right) +P\left( Y=1\right)
+P\left( Y=2\right) =0,81$

\item $\mathcal{B}\left( 50;0,03\right) \simeq\mathcal{P}\left( 1,5\right) $

\item $P\left( Z=2\right) =0,25$ (tables)\newline
$P\left( Z\leq2\right) =P\left( Z=0\right) +P\left( Z=1\right) +P\left(
Z=2\right) =0,81$
\end{enumerate}

\textit{C. Intervalle de confiance}

\begin{enumerate}
\item Une estimation ponctuelle $\hat{\mu}$ de la moyenne $\mu$ est donnée
par la moyenne de l'échantillon.\newline
Donc $\hat{\mu}=9,99$

\item $\left[ \bar{x}-\alpha\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\bar{x}+\alpha \frac{%
\sigma}{\sqrt{n}}\right] $ avec $\bar{x}=9,99$ ; $\sigma=0,19$ ; $n=50$ et $%
\alpha$ tel que $2\Pi\left( \alpha\right) -1=0,95$ donne $\alpha=1,96$ et
l'intervalle cherché est donc $\left[ 9,93;10,05\right] .$

\item C'est faux !!!
\end{enumerate}

\begin{exercice}
\textit{A.\ Résolution d'une équation différentielle}
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item $y=Ce^{-0,2x^{2}}$ où $C$ est une constante réelle quelconque.

\begin{itemize}
\item $\forall x\in R_{+}^{\ast}:h^{\prime}\left( x\right) +0,4~x~h\left(
x\right) =0+0,4~x=0,4~x$ donc $h$ est solution de $\left( E\right) .$
\end{itemize}

\item $y=1+Ce^{-0,2x^{2}}$ où $C$ est une constante réelle quelconque.

\item $F\left( x\right) =1+Ce^{-0,2x^{2}}$ et $F\left( 0\right)
=0\Rightarrow1+C=0\Rightarrow C=-1$ d'où\newline
$F\left( x\right) =1-e^{-0,2x^{2}}$
\end{enumerate}

\textit{B. Etude d'une fonction}

\begin{enumerate}
\item L'axe des abscisses est asymptote à $\mathcal{C}$ vers $+\infty.$

\item 
\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}\left( x\right) =0,4~e^{-0,2x^{2}}+0,4~x\left(
-0,4~x~e^{-0,2x^{2}}\right) =0,4\left( 1-0,4~x^{2}\right) ~e^{-0,2x^{2}}$ d'o%
ù le résultat.

\item Sur $\left[ 0;+\infty\right[ $ $f^{\prime}\left( x\right) $ a même
signe que $1+\sqrt{0,4}~x$

\item 
\begin{tabular}[t]{c|ccccc}
$x$ & $0$ &  & $\frac{1}{\sqrt{0,4}}$ &  & $+\infty$ \\ \hline
$f^{\prime}\left( x\right) $ &  & $+$ & $0$ & $-$ &  \\ \hline
$f\left( x\right) $ & $_{0}$ & $\nearrow$ & $^{M}$ & $\searrow$ & $_{0}$%
\end{tabular}
avec $M=0,38$ à $10^{-2}$
\end{enumerate}

\item La troncature à l'ordre 1 de la partie régulière du développement limit%
é de $f\left( x\right) $ au voisinage de 0 permet de déterminer une équation
de la tangente $\mathcal{T}:y=0,4~x$\newline
La position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{T}$ est donnée par le
signe de $f\left( x\right) -0,4~x$\newline
$f\left( x\right) -0,4~x=-0,08~x^{3}+x^{3}\varepsilon\left( x\right) $ avec $%
\lim\limits_{x\rightarrow0}\varepsilon\left( x\right) =0$\newline
$-0,08~x^{3}+x^{3}\varepsilon\left( x\right) $ a même signe, au voisinage de
0, que $-0,08~x^{3}.$\newline
On en déduit que, au voisinage de 0, $\mathcal{C}$ est en dessous de $%
\mathcal{T}$ (ne pas oublier que $x\geq 0$)$\bigskip$
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm} 
\begin{pspicture*}(-1,-0.2)(6,0.5)
\psgrid[gridcolor=blue,subgridcolor=blue,gridlabels=0](0,0)(-1,-0.2)(6,0.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-1,-0.2)(6,0.5)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{0}{6}{0.4 x mul}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0}{6}{2.718 x x mul 0.2 mul neg exp 0.4 x mul mul}
\rput(0.7,0.4){$\mathcal{T}$}
\rput(3,0.3){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}$\bigskip$
\end{center}

\textit{C.\ Application à un problème de probabilité}

\begin{enumerate}
\item $P\left( X\leq4\right) =\int_{0}^{4}f\left( t\right)
~dt=1-e^{-0,2.4^{2}}=1-e^{-3,2}=0,96$ à $10^{-2}$ près.

\begin{enumerate}
\item $P\left( X\leq x_{0}\right)
=0,99\Leftrightarrow\int_{0}^{x_{0}}f\left( t\right)
~dt=0,99\Leftrightarrow1-e^{-0,2x_{0}^{2}}=0,99\Leftrightarrow
e^{-0,2x_{0}^{2}}=0,01$

\item De (a) on déduit : $-0,2~x_{0}^{2}=\ln0,01$ d'où $x_{0}^{2}=\frac {%
\ln0,01}{-0,2}$ et $x_{0}=\sqrt{\frac{\ln0,01}{-0,2}}$ car $x_{0}\geq 0$%
\newline
On obtient : $x_{0}=4,80$ à $10^{-2}$ près.

\item L'affirmation peut s'écrire : "$P\left( X\leq5\right) \geq 0,99$"%
\newline
Soit $F\left( x\right) =P\left( X\leq x\right) .$ $F$ est la fonction de ré%
partition de $X$ et donc, comme toute fonction de répartition, elle est
croissante.\newline
On a donc $F\left( 4,80\right) \leq F\left( 5\right) ,$ c'est à dire : $%
P\left( X\leq4,80\right) \leq P\left( X\leq5\right) .$\newline
Or, d'après (b) : $P\left( X\leq 4,80\right) =0,99.$ Donc $P\left(
X\leq5\right) \geq0,99.$\newline
La réponse est donc OUI \textit{(les justifications ci dessus n'étaient pas
demandées)}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
