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\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newcommand\MonTitre{BTS 2004 groupement B}
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\begin{document}

\title{\bf\MONTITRE}
\date{}
\maketitle

\begin{exercice}
[9 points]\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{exercice}

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques
cylindriques pour l'industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres.

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à
}$\mathbf{10}^{-2}$
\end{center}

\textit{A.\ Loi normale}

Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque
celle-ci appartient à l'intervalle $\left[  99,45;100,55\right]  .$

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans
la production, associe sa longueur.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne 100 et d'écart type 0,25.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la
production soit conforme pour la longueur.

\item Déterminer le nombre réel $h$ positif tel que : $P\left(  100-h\leq
X\leq100+h\right)  =0,95$\newline Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate}

\textit{B.\ Loi binomiale et loi de Poisson}

Dans un lot de ce type de tiges, 3 \% des tiges ne sont pas conformes pour la longueur.

On prélève au hasard 50 tiges de ce lot pour vérification de la longueur.\ Le
lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à
un tirage avec remise de 50 tiges.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 50 tiges,
associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on
déterminera les paramètres.

\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux tiges ne
soient pas conformes pour la longueur.

\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges
ne soient pas conformes pour la longueur.

\item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi
de Poisson.\newline Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.

\item On désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de
paramètre $\lambda$ où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{4.}\newline
Calculer $P\left(  Z=2\right)  $ et $P\left(  Z\leq2\right)  .$
\end{enumerate}

\textit{C. Intervalle de confiance}

Dans cette question on s'intéresse au diamètre des tiges, exprimé en millimètres.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50 tiges dans la
production d'une journée.

Soit $\bar{D}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 tiges
prélevées au hasard et avec remise dans la production d'une journée, associe
la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon.

On suppose que $\bar{D}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et
d'écart type $\frac{\sigma}{\sqrt{50}}$ avec $\sigma=0,19.$

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à $10^{-2},$ est
$\bar{x}=9,99.$

\begin{enumerate}
\item A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une
estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ des diamètres des tiges produites
dans cette journée.

\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\bar{x}$ de la moyenne
$\mu$ des diamètres des tiges produites pendant la journée considérée, avec le
coefficient de confiance 95 \%.

\item On considère l'affirmation suivante : "la moyenne $\mu$ est
obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question
\textbf{2.}"\newline Est-elle vraie ? (on ne demande pas de justification).
\end{enumerate}

\begin{exercice}
[11 points]\textit{Dans cet exercice, on étudie une fonction qui intervient
dans des calculs de probabilité à propos de la crue d'un fleuve.}%
\newline\textit{(Source : un bureau d'étude du domaine de l'équipement)}
\end{exercice}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante.}
\end{center}

\textit{A. Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle $\left(  E\right)  :y^{\prime}+\left(
0,4x\right)  y=0,4x$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle
$x,$ définie et dérivable sur $\left[  0;+\infty\right[  ,$ et $y^{\prime}$ sa
fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(
E_{0}\right)  :y^{\prime}+\left(  0,4x\right)  y=0$

\item Montrer que la fonction constante $h,$ définie sur $\left[
0;+\infty\right[  $ par $h\left(  x\right)  =1,$ est une solution particulière
de l'équation différentielle $\left(  E\right)  .$

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
$\left(  E\right)  .$

\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\left[  0;+\infty\right[  $
par $F\left(  x\right)  =1-e^{-0,2x^{2}}$ est la solution particulière de
l'équation différentielle $\left(  E\right)  $ qui vérifie la condition
initiale $F\left(  0\right)  =0.$
\end{enumerate}

\textit{B. Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[  0;+\infty\right[  $ par $f\left(
x\right)  =0,4xe^{-0,2x^{2}}.$

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthogonal $\left(  O;\vec{i},\vec{j}\right)  ,$ les unités graphiques étant
de 2 cm sur l'axe des abscisses et de 10 cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item On admet que $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =0.$
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\left[  0;+\infty\right[  ,$
$f^{\prime}\left(  x\right)  =0,4\left(  1-\sqrt{0,4}~x\right)  \left(
1+\sqrt{0,4}~x\right)  e^{-0,2x^{2}}.$

\item En déduire le signe de $f^{\prime}\left(  x\right)  $ sur $\left[
0;+\infty\right[  .$

\item Donner le tableau de variation de $f$ sur $\left[  0;+\infty\right[
.$\newline On y fera figurer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ du
maximum de la fonction $f.$
\end{enumerate}

\item Un logiciel de calcul formel fournit pour $f$ le développement limité
suivant, à l'ordre 3, au voisinage de 0 : $f\left(  x\right)  =0,4x-0,08x^{3}%
+x^{3}\varepsilon\left(  x\right)  $ avec $\lim\limits_{x\rightarrow
0}\varepsilon\left(  x\right)  =0.$\newline\textbf{Ce résultat est admis et
n'est donc pas à démontrer.}\newline En déduire une équation de la tangente
$\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0, et la position
relative de $\mathcal{T}$ et de $\mathcal{C}$ au voisinage de ce point.

\item Tracer sur la copie la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$
dans le repère $\left(  O;\vec{i},\vec{j}\right)  $ défini au début de la
partie \textit{B.}
\end{enumerate}

\textit{C. Application à un problème de probabilité}

\textit{Une étude statistique, fondée sur un historique des crues d'un fleuve,
permet de faire des prévisions sur sa hauteur maximale annuelle, en mètres.}

On note $X$ la variable aléatoire qui, à une année prise au hasard dans une
longue période, associe la hauteur maximale du fleuve en mètres.

Soit $x$ un réel positif. La probabilité qu'une année donnée la hauteur
maximale du fleuve soit inférieure à $x$ mètres est $P\left(  X\leq x\right)
=\int_{0}^{x}f\left(  t\right)  ~dt$ où $f$ est la fonction définie dans la
partie \textit{B.}

On admet que $\int_{0}^{x}f\left(  t\right)  ~dt=1-e^{-0,2x^{2}}.$

\begin{enumerate}
\item Les digues actuelles ne protègent l'agglomération que lorsque la hauteur
est inférieure à 4 mètres.\newline Calculer la probabilité $P\left(
X\leq4\right)  $ qu'une année donnée, l'agglomération soit protégée de la crue
; arrondir le résultat à $10^{-2}.$

\item Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de
l'agglomération, on cherche la hauteur $x_{0},$ en mètres, telle que $P\left(
X\leq x_{0}\right)  =0,99.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $x_{0}$ est solution de l'équation : $e^{-0,2x^{2}}=0,01.$

\item Déterminer la valeur approché arrondie à $10^{-2}$ de $x_{0}.$

\item On considère l'affirmation suivante :\newline"En surélevant les digues
actuelles d'un mètre, la probabilité qu'une année prise au hasard,
l'agglomération soit protégée est supérieure à 0,99".\newline Cette
affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication)
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}