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\topsep=0cm

\begin{document}

\title{Correction BTS 2003 groupement B}
%\date{}
%\maketitle

\begin{exercice}
\ 
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $P\left(  E_{1}\right)  =P\left(  A\cap B\right)  =P\left(  A\right)
.P\left(  B\right)  $ car $A$ et $B$ sont ind\'{e}pendants.\newline D'o\`{u}
$P\left(  E_{1}\right)  =0,04\times0,02=0,0008.$

\item $P\left(  E_{2}\right)  =P\left(  A\cup B\right)  =P\left(  A\right)
+P\left(  B\right)  -P\left(  A\cap B\right)  =0,04+0,02-0,0008=0,0592$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $P\left(  X\leq2\right)  =P\left(  X=0\right)  +P\left(  X=1\right)
+P\left(  X=2\right)  =0,6065+0,3033+0,0758=0,9856$

\item $P\left(  X\leq4\right)  =P\left(  X=0\right)  +P\left(  X=1\right)
+P\left(  X=2\right)  +P\left(  X=3\right)  +P\left(  X=4\right)  $%
\newline$=0,6065+0,3033+0,0758+0,0126+0,0016=0,9998$

\item On a vu que $P\left(  X\leq2\right)  =0,9856.$\newline De plus :
$P\left(  X\leq3\right)  =P\left(  X\leq2\right)  +P\left(  X=3\right)
=0,9856+0,0126=0,9982.$ Donc $n=3$
\end{enumerate}

\item $Y\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  1,5;0,01\right)  \Leftrightarrow
T=\frac{Y-1,5}{0,01}\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  0;1\right)  .$\newline
La probabilit\'{e} demand\'{e}e est\newline$p=P\left(  1,47\leq Y\leq
1,53\right)  =P\left(  -3\leq T\leq3\right)  =2\Pi\left(  3\right)
-1=2\times0,99865-1=0,997$ \`{a} 10$^{-3}$

\item
\begin{enumerate}
\item $\bar{Z}\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  \mu;\frac{\sigma}{\sqrt{n}%
}\right)  $ avec $\sigma=0,01$ et $n=100$\newline De plus, sous $H_{0},$
$\mu=1,5.$ Donc $\bar{Z}\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  1,5;0,001\right)  $

\item $\bar{Z}\hookrightarrow\mathcal{N}\left(  1,5;0,001\right)
\Leftrightarrow\bar{T}=\frac{\bar{Z}-1,5}{0,001}\hookrightarrow\mathcal{N}%
\left(  0;1\right)  $\newline$P\left(  1,5-h\leq\bar{Z}\leq1,5+h\right)
=0,95\Leftrightarrow P\left(  \frac{-h}{0,001}\leq\bar{T}\leq\frac{h}%
{0,001}\right)  =0,95$\newline$\Leftrightarrow2\Pi\left(  \frac{h}%
{0,001}\right)  -1=0,95\Leftrightarrow\Pi\left(  \frac{h}{0,001}\right)
=0,975\Leftrightarrow\frac{h}{0,001}=1,96\Leftrightarrow h=0002$ \`{a}
10$^{-3}$

\item On pr\'{e}l\`{e}ve un \'{e}chantillon de 100 bouteilles et on calcule la
moyenne $\bar{z}$ des volumes d'eau contenus dans les bouteilles de cet
\'{e}chantillon.\newline Si $\bar{z}\in\left[  1,5-h;1,5+h\right]  =\left[
1,498;1,502\right]  $ on accepte $H_{0}.$ Sinon on refuse $H_{0},$ c'est \`{a}
dire qu'on accepte $H_{1}.$

\item $\bar{z}=1,495,$ donc on refuse $H_{0}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{exercice}
\ 
\end{exercice}

\textit{Partie A. R\'{e}solution d'une \'{e}quation diff\'{e}rentielle.}

\begin{enumerate}
\item $x\mapsto-x$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x\mapsto-1.$ Donc la
solution g\'{e}n\'{e}rale, sur $\mathbb{R}$, de l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $y^{\prime}=-y$ est%
\[
y=Ce^{-x}%
\]
o\`{u} $C$ d\'{e}signe une constante r\'{e}elle quelconque.

\item $\forall x\in\mathbb{R}:h^{\prime}\left(  x\right)  =2e^{-x}+2x\left(
-e^{-x}\right)  =\left(  2-2x\right)  e^{-x}$ d'o\`{u} :\newline$\forall
x\in\mathbb{R}:h^{\prime}\left(  x\right)  +h\left(  x\right)  =\left(
2-2x\right)  e^{-x}+2xe^{-x}=2e^{-x}$\newline$h$ est donc solution, sur
$\mathbb{R}$, de l'\'{e}quation $\left(  E\right)  .$

\item La solution g\'{e}n\'{e}rale de l'\'{e}quation $a\left(  x\right)
y^{\prime}+b\left(  x\right)  y=c\left(  x\right)  $ peut s'obtenir en
ajoutant, \`{a} une solution particuli\`{e}re de cette \'{e}quation, la
solution g\'{e}n\'{e}rale de l'\'{e}quation homog\`{e}ne associ\'{e}e :
$a\left(  x\right)  y^{\prime}+b\left(  x\right)  y=0.$\newline La solution
g\'{e}n\'{e}rale de $\left(  E\right)  $ est donc%
\[
y=2xe^{-x}+Ce^{-x}=\left(  2x+C\right)  e^{-x}%
\]
o\`{u} $C$ d\'{e}signe une constante r\'{e}elle quelconque.

\item $f$ \'{e}tant solution de $\left(  E\right)  $ on a $\forall
x\in\mathbb{R}:f\left(  x\right)  =\left(  2x+C\right)  e^{-x}$\newline La
condition initiale $f\left(  0\right)  =3$ donne $C=3$ d'o\`{u} $f\left(
x\right)  =\left(  2x+3\right)  e^{-x}$
\end{enumerate}

\textit{Partie B. Etude d'une fonction}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f\left(  0\right)  =3$

\item $f^{\prime}\left(  0\right)  =-1$

\item On a $f^{\prime}\left(  x\right)  =\left(  a-ax-b\right)  e^{-x}$
d'o\`{u} $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
f\left(  0\right)  =3\\
f^{\prime}\left(  0\right)  -1
\end{array}
\right.  \Rightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
b=3\\
a-b=-1
\end{array}
\right.  \Rightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
b=3\\
a=2
\end{array}
\right.  $\newline D'o\`{u} $f\left(  x\right)  =\left(  2x+3\right)  e^{-x}$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item L'application de $\left(  uv\right)  ^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$
donne, avec $u=2x+3$ et $v=e^{-x}$ :\newline Pour tout $x$ r\'{e}el :
$f^{\prime}\left(  x\right)  =2e^{-x}+\left(  2x+3\right)  \left(
-e^{-x}\right)  =\left(  -2x-1\right)  e^{-x}$

\item Une exponentielle \'{e}tant toujours strictement positive, $f^{\prime
}\left(  x\right)  $ a m\^{e}me signe que $\left(  -2x-1\right)  $\newline
Donc $f^{\prime}\left(  x\right)  \geq0\Leftrightarrow-2x-1\geq
0\Leftrightarrow x\leq-\frac{1}{2}$

\item
\begin{tabular}
[c]{l|lllll}
$x$ & $-\infty$ &  & $\frac{1}{2}$ &  & $+\infty$\\\hline
$f^{\prime}\left(  x\right)  $ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\\hline
$f\left(  x\right)  $ &  & $\nearrow$ & $^{2\sqrt{e}}$ & $\searrow$ &
\end{tabular}


\item On a $e^{t}=1+t+\frac{1}{2}t^{2}+t^{2}\varepsilon\left(  t\right)  $
avec $\lim\limits_{t\rightarrow0}\varepsilon\left(  t\right)  =0.$ On en
d\'{e}duit :\newline$e^{-x}=1-x+\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\varepsilon\left(
x\right)  $ avec $\lim\limits_{x\rightarrow0}\varepsilon\left(  x\right)  =0$

\item La partie r\'{e}guli\`{e}re du d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a}
l'ordre 2 au voisinage de 0 de $f\left(  x\right)  $ s'obtient en multipliant
$\left(  2x+3\right)  $ par $\left(  1-x+\frac{x^{2}}{2}\right)  $ et en ne
conservant que les termes de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2. On
obtient alors :%
\[
f\left(  x\right)  =3-x-\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\varepsilon\left(  x\right)
avec\lim\limits_{x\rightarrow0}\varepsilon\left(  x\right)  =0
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textit{Partie C. Calcul int\'{e}gral}

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ r\'{e}el : $f\left(  x\right)  =-f^{\prime}\left(
x\right)  +2e^{-x}.$ Par int\'{e}gration, on obtient : $F\left(  x\right)
=-f\left(  x\right)  -2e^{-x}$\newline D'o\`{u} $F\left(  x\right)  =-\left(
2x+3\right)  e^{-x}-2e^{-x}=\left(  -2x-5\right)  e^{-x}$

\item
\begin{enumerate}
\item $I=\int_{0}^{1/2}f\left(  x\right)  ~dx=\left[  F\left(  x\right)
\right]  _{0}^{1/2}=F\left(  1/2\right)  -F\left(  0\right)  =-6e^{-1/2}%
-\left(  -5\right)  =5-6e^{-1/2}$

\item $I=1,361$ \`{a} 10$^{-3}.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $J=\left[  3x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}\frac{x^{3}}{3}\right]
_{0}^{1/2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{48}=\frac{65}{48}$

\item $J=1,354$ \`{a} 10$^{-3}$

\item $1,361-1,354=0,007<0,01=10^{-2}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}