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\newtheorem{exercice}{Exercice}
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\topsep=0cm
\begin{document}

\title{BTS 2003 groupement B1}
\date{}
\maketitle

\begin{exercice}
[9 points]\textbf{Les quatre questions de cet exercice sont ind\'{e}pendantes}
\end{exercice}

\begin{floatingfigure}[r]{11cm}
\psset{xunit=1mm,yunit=1mm,runit=1mm}
\begin{pspicture}(0,0)(100.00,53.00)
\psframe[linewidth=0.15,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.28,hatchsep=2.92,hatchangle=0.00](15.00,13.00)(45.00,18.00)
\pscircle[linewidth=0.15,linecolor=black](57.50,15.50){7.50}
\psframe[linewidth=0.15,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.28,hatchsep=2.92,hatchangle=0.00](70.00,13.00)(100.00,18.00)
\psline[linewidth=0.15]{-}(65.00,15.50)(70.00,15.50)
\psline[linewidth=0.15]{-}(45.00,15.50)(50.00,15.50)
\psline[linewidth=0.15]{-}(70.00,13.00)(70.00,13.00)
\psline[linewidth=0.15]{-}(57.50,23.00)(57.50,28.00)
\psframe[linewidth=0.15](50.00,28.00)(65.00,53.00)
\rput[l](50.00,40.00){R\'eservoir}
\rput[l](20.00,20.50){File d'entr\'ee}
\rput[l](75.00,21.00){File de sortie}
\rput[l](51.00,16.00){Machine}
\end{pspicture}
\end{floatingfigure}


Dans une usine du secteur de l'agroalimentaire, une machine \`{a} embouteiller
est aliment\'{e}e par un r\'{e}servoir d'eau et par une file
d'approvisionnement en bouteilles vides, selon le sch\'{e}ma ci-contre.

L'exercice consiste en une \'{e}tude statistique du bon fonctionnement de ce
syst\`{e}me. \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}
\item \textit{D\'{e}faut d'approvisionnement}\newline On consid\`{e}re qu'il y
a un d\'{e}faut d'approvisionnement :\newline-\ soit lorsque la file
d'entr\'{e}e des bouteilles est vide,\newline-\ soit lorsque le r\'{e}servoir
est vide.\newline On tire un jour ouvrable au hasard dans une ann\'{e}e. On
note $A$ l'\'{e}v\'{e}nement : "la file d'entr\'{e}e est vide au moins une
fois dans la journ\'{e}e" et $B$ l'\'{e}v\'{e}nement : "le r\'{e}servoir est
vide au moins une fois dans la journ\'{e}e".\newline On suppose que les
\'{e}v\'{e}nements $A$ et $B$ sont ind\'{e}pendants et une \'{e}tude
statistique a montr\'{e} que $P\left(  A\right)  =0,04$ et $P\left(  B\right)
=0,02.$\newline Calculer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\'{e}nements
suivants :

\begin{enumerate}
\item $E_{1}=A\cap B$

\item $E_{2}:$ "la machine a connu au moins un d\'{e}faut d'approvisionnement
dans la journ\'{e}e".
\end{enumerate}

\item \textit{Pannes de la machine sur une dur\'{e}e de 100 jours}\newline On
note $X$ la variable al\'{e}atoire qui \`{a} toute p\'{e}riode de 100 jours
cons\'{e}cutifs, tir\'{e}e au hasard dans les jours ouvrables d'une ann\'{e}e,
associe le nombre de pannes de la machine. Une \'{e}tude, men\'{e}e par le
constructeur sur un grand nombre de machines de ce type, permet d'admettre que
$X$ suit la loi de Poisson de param\`{e}tre 0,5.\newline D\'{e}terminer, \`{a}
l'aide de la table du formulaire :

\begin{enumerate}
\item $P\left(  X\leq2\right)  $ ;

\item la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement : "la machine a au plus quatre
pannes pendant la p\'{e}riode de 100 jours cons\'{e}cutifs".

\item le plus petit entier $n$ tel que $P\left(  X\leq n\right)  =0,99.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Dans ce qui suit les volumes sont exprim\'{e}s en litres et tous les
r\'{e}sultats approch\'{e}s sont \`{a} arrondir \`{a} 10}$^{-3}.$

\begin{enumerate}
\item[3.] Q\textit{ualit\'{e} de l'embouteillage \`{a} la sortie}\newline On
d\'{e}signe par $Y$ la variable al\'{e}atoire qui, \`{a} toute bouteille prise
au hasard dans la production d'une heure, associe le volume d'eau qu'elle
contient. On admet que, lorsque la machine est bien r\'{e}gl\'{e}e, $Y$ suit
la loi normale de moyenne 1,5 et d'\'{e}cart type 0,01.\newline Une bouteille
est conforme aux normes de l'entreprise lorsqu'elle contient entre 1,47 et
1,53 litre d'eau.\newline Calculer la probabilit\'{e} qu'une bouteille
satisfasse \`{a} la norme.

\item[4.] T\textit{est d'hypoth\`{e}se}\newline Pour contr\^{o}ler le bon
fonctionnement de la machine, on construit un test d'hypoth\`{e}se
bilat\'{e}ral qui sera mis en oeuvre toutes les heures.\newline Pour une
production d'une heure, la variable al\'{e}atoire $Z$ qui, \`{a} toute
bouteille prise au hasard dans cette production associe le volume d'eau
qu'elle contient, suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'\'{e}cart type
$\sigma=0,01.$ Dans cette question, la moyenne $\mu$ est inconnue.\newline On
d\'{e}signe par $\bar{Z}$ la variable al\'{e}atoire qui, \`{a} chaque
\'{e}chantillon al\'{e}atoire de 100 bouteilles pr\'{e}lev\'{e} dans cette
production d'une heure, associe la moyenne des volumes d'eau contenus dans les
bouteilles de cet \'{e}chantillon (la production pendant une heure est assez
importante pour que l'on puisse assimiler ces pr\'{e}l\`{e}vements \`{a} des
tirages avec remise).\newline On consid\`{e}re que la machine est bien
r\'{e}gl\'{e}e lorsque $\mu=1,5.$\newline L'hypoth\`{e}se nulle est
$H_{0}:"\mu=1,5".$\newline L'hypoth\`{e}se alternative est $H_{1}:"\mu
\neq1,5".$\newline Le seuil de signification du test est fix\'{e} \`{a} 0,05.

\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que, sous l'hypoth\`{e}se nulle $H_{0},$ $\bar{Z}$
suit la loi normale de moyenne 1,5 et d'\'{e}cart type 0,001.

\item Sous l'hypoth\`{e}se nulle $H_{0},$ d\'{e}terminer le nombre $h$ positif
tel que :%
\[
P\left(  1,5-h\leq\bar{Z}\leq1,5+h\right)  =0,95
\]


\item Enoncer la r\`{e}gle de d\'{e}cision permettant d'utiliser ce test.

\item On pr\'{e}l\`{e}ve un \'{e}chantillon de 100 bouteilles et on observe
que, pour cet \'{e}chantillon, la moyenne des volumes d'eau contenus dans ces
bouteilles est $\bar{z}=1,495.$\newline Peut-on, au seuil de 5 \%, conclure
que la machine est bien r\'{e}gl\'{e}e ?\newpage
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{exercice}
\ 
\end{exercice}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent \^{e}tre trait\'{e}es de
fa\c{c}on ind\'{e}pendante.}\medskip
\end{center}

\textit{A.\ R\'{e}solution d'une \'{e}quation diff\'{e}rentielle}

On consid\`{e}re l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)
:y^{\prime}+y=2e^{-x}$

o\`{u} $y$ est une fonction de la variable r\'{e}elle $x,$ d\'{e}finie et
d\'{e}rivable sur $\mathbb{R},$ et $y^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $\left(  E_{0}\right)  :y^{\prime}+y=0.$

\item Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $h\left(
x\right)  =2xe^{-x}.$\newline D\'{e}montrer que la fonction $h$ est une
solution particuli\`{e}re de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left(
E\right)  .$

\item En d\'{e}duire l'ensemble des solutions de l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  .$

\item D\'{e}terminer la solution $f$ de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle
$\left(  E\right)  $ dont la courbe repr\'{e}sentative, dans un rep\`{e}re
orthonormal, passe par le point de coordonn\'{e}es $\left(  0,3\right)  .$
\end{enumerate}

\textit{B. Etude d'une fonction}

\begin{enumerate}
\item La courbe $C$ ci-dessous repr\'{e}sente dans un rep\`{e}re orthonormal
$\left(  O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)  $ une fonction $f$
d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(  x\right)  =\left(  ax+b\right)
e^{-x}, $ o\`{u} $a$ et $b$ sont des nombres r\'{e}els.\newline La droite
$\Delta$ est la tangente \`{a} la courbe $C$ au point $A$ d'abscisse 0. Cette
tangente passe par le point $B$ de coordonn\'{e}es $\left(  3,0\right)
.\bigskip$\newline\hspace{1in}\psset{xunit=1.5,yunit=1.5}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.01,gridlabels=0.3](0,0)(-2,-2)(6,4)
\psline(-1,4)(5,-2)
\psline(-2,0)(6,0)
\psline(0,-2)(0,4)
\psplot{-1.69}{6}{ 2 x mul 3 add 2.7 x neg exp mul}
\rput(-1.5,2.5){$C$}
\rput(3.1,0.2){$B$}
\rput(-0.5,3.8){$\Delta$}
\rput(0.2,3.2){$A$}
\end{pspicture}


\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer graphiquement $f\left(  0\right)  .$

\item D\'{e}terminer, graphiquement ou par le calcul, $f^{\prime}\left(
0\right)  .$

\item D\'{e}terminer les valeurs des nombres r\'{e}els $a$ et $b.$%
\newpage\textbf{Dans la suite on admet que }$f$ \textbf{est d\'{e}finie sur
}$\mathbb{R}$ \textbf{par : }%
\[
f\left(  x\right)  =\left(  2x+3\right)  e^{-x}%
\]


\item D\'{e}montrer que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}:$ $f^{\prime}\left(
x\right)  =\left(  -2x-1\right)  e^{-x}$ ;

\item R\'{e}soudre sur $\mathbb{R}$ l'in\'{e}quation $f^{\prime}\left(
x\right)  \geq0$ ;

\item En d\'{e}duire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$\newline(on
ne cherchera pas les limites en $-\infty$ et $+\infty$)
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le d\'{e}veloppement limit\'{e}, \`{a} l'ordre 2, au
voisinage de 0, de la fonction $x\mapsto e^{-x}.$

\item D\'{e}montrer que le d\'{e}veloppement limit\'{e}, \`{a} l'ordre 2, au
voisinage de 0, de la fonction $f$ est : $f\left(  x\right)  =3-x-\frac{1}%
{2}x^{2}+x^{2}\varepsilon\left(  x\right)  $ avec $\lim\limits_{x\rightarrow
0}\varepsilon\left(  x\right)  =0.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textit{C.\ Calcul int\'{e}gral}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ d\'{e}finie dans la partie $B$ est une solution de
l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  $ de la partie $A.$ Donc,
pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ $f\left(  x\right)  =-f^{\prime}\left(
x\right)  +2e^{-x}.$\newline En d\'{e}duire une primitive $F$ de $f$ sur
$\mathbb{R}.$

\item On note $I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}f\left(  x\right)  ~dx$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $I=5-6e^{-\frac{1}{2}}.$

\item Donner une valeur approch\'{e}e arrondie \`{a} 10$^{-3}$ de $I.$
\end{enumerate}

\item On note $J=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(  3-x-\frac{1}{2}x^{2}\right)
~dx $

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $J=\frac{65}{48}$

\item Donner une valeur approch\'{e}e \`{a} 10$^{-3}$ de $J.$

\item V\'{e}rifier que les valeurs approch\'{e}es obtenues ci-dessus pour $I$
et $J$ diff\`{e}rent de moins de 10$^{-2}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}