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%$h(x)=xe^{2x}$
%$f(x)=(x-1)e^{2x}$
%$I(\alpha )=\int_{\alpha }^{0}f(x)dx$
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\begin{document}

\begin{center}
{\textbf{{\Large BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR}}}

{\textbf{{\Large SESSION 2002}}}

{\textbf{{\Large \'{E}PREUVE DE MATH\'{E}MATIQUES}}}

{\textbf{{\Large GROUPEMENT B}}}

{\Large ELEMENTS DE SOLUTION}
\end{center}

{\Large \vspace{1ex}}

\noindent\textbf{{\large EXERCICE I}}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  On a :%
\[
p\left(  A\right)  =p\left(  X=0\right)  =e^{-0,28}\frac{\left(  0,28\right)
^{0}}{0!}\simeq0,756
\]

\item  L'\'{e}v\`{e}nement B est l'union des \'{e}v\`{e}nements deux \`{a}
deux incompatibles '' un v\'{e}hicule tir\'{e} au hasard dans la parc a eu
exactement 0 sinistre pendant l'ann\'{e}e consid\'{e}r\'{e}e '', '' un
v\'{e}hicule tir\'{e} au hasard dans la parc a eu exactement 1 sinistre
pendant l'ann\'{e}e consid\'{e}r\'{e}e '' et '' un v\'{e}hicule tir\'{e} au
hasard dans la parc a eu exactement 2 sinistres pendant l'ann\'{e}e
consid\'{e}r\'{e}e ''. Donc
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
p\left(  B\right)  =p\left(  X=0\right)  +p\left(  X=1\right)  +p\left(
X=2\right)  \\
=e^{-0,28}\frac{\left(  0,28\right)  ^{0}}{0!}+e^{-0,28}\frac{\left(
0,28\right)  ^{1}}{1!}+e^{-0,28}\frac{\left(  0,28\right)  ^{2}}{2!}\\
\simeq0,997
\end{array}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Nous avons une suite de 15 \'{e}preuves de Bernouilli
ind\'{e}pendantes. Chaque \'{e}preuve n'a que deux issues possibles : soit
l'\'{e}v\`{e}nement E est r\'{e}alis\'{e} avec une probabilit\'{e} de 0,6,
soit il n'est pas r\'{e}alis\'{e} avec une probabilit\'{e} de 0,4. Ceci prouve
que la variable al\'{e}atoire $Y$ suit une loi binomiale de param\`{e}tres 15
et 0,6.

\item  On veut calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement :%
\[
p\left(  Y=10\right)  =C_{15}^{10}\times\left(  0,6\right)  ^{10}\times\left(
0,4\right)  ^{5}\simeq0,186
\]
\end{enumerate}

\item  Puisque $C$ suit la loi normale de moyenne 1200 et d'\'{e}cart type
200, la variable al\'{e}atoire $D$ d\'{e}finie par
\[
D=\frac{C-1200}{200}%
\]
suit la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite. On trouve alors
\[
C=1200+200D
\]
ce qui permet facilement d'en d\'{e}duire :
\[
1000\mathbb{\leqslant} C\mathbb{\leqslant}1500\Leftrightarrow
-1\mathbb{\leqslant} D\mathbb{\leqslant}\frac{3}{2}%
\]
Il vient alors, en utilisant le formulaire :%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
p\left(  1000\mathbb{\leqslant} C\mathbb{\leqslant}1500\right)  =p\left(
-1\mathbb{\leqslant} D\mathbb{\leqslant}\frac{3}{2}\right)  \\
=\Pi\left(  \frac{3}{2}\right)  -\Pi\left(  -1\right)  =\Pi\left(  \frac{3}%
{2}\right)  -\left(  1-\Pi\left(  1\right)  \right)  \\
=\Pi\left(  \frac{3}{2}\right)  +\Pi\left(  1\right)  -1\simeq0,775
\end{array}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item  L'estimation ponctuelle est donn\'{e}e par le pourcentage obtenu sur
l'\'{e}chantillon pr\'{e}lev\'{e} :%
\[
p=91
\]

\item  On pose :%
\[
T=\frac{F-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{100}}}%
\]
$T$ suit la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite. L'intervalle de confiance
pour $T$ \`{a} 95\% est d\'{e}fini par :%
\[
p\left(  -t\leq T\leq t\right)  =0,95\Leftrightarrow2\Pi\left(  t\right)
-1=0,95\Leftrightarrow\Pi\left(  t\right)  =0,975\Leftrightarrow t\simeq1,96
\]
en utilisant le formulaire. On en d\'{e}duit :%
\[
p\left(  -1,96\leq T\leq1,96\right)  =0,95\Leftrightarrow p\left(
-1,96\leq\frac{F-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{100}}}\leq1,96\right)  =0,95
\]
Afin de pouvoir obtenir un intervalle de confiance, il nous faut dans ce cas
approximer l'\'{e}cart-type $\sqrt{\frac{p(1-p)}{100}}$ de $F$ par $\sigma,$
qui d'apr\`{e}s le cours vaut
\[
\sigma=\sqrt{\frac{n}{n-1}}\times\sqrt{\frac{f\left(  f-1\right)  }{n}}%
=\sqrt{\frac{f\left(  1-f\right)  }{n-1}}=\sqrt{\frac{0.91\times
(1-0.91)}{100-1}}\simeq2.\,\allowbreak876\,2\times10^{-2}%
\]
On en d\'{e}duit ensuite :%
\[
p\left(  -1,96\leq\frac{F-p}{\sigma^{\prime}}\leq1,96\right)
=0,95\Leftrightarrow p\left(  p-1,96\times\sigma^{\prime}\leqslant F\leqslant
p+1,96\times\sigma^{\prime}\right)  =0,95
\]
On utilise l'estimation ponctuelle de $p,$ \`{a} savoir que $p\simeq0,91$ pour
trouver que
\begin{align*}
p-1,96\times\sigma^{\prime} &  =0.91-1.96\times2.\,\allowbreak876\,2\times
10^{-2}\simeq0.\,\allowbreak853\,63\\
p+1,96\times\sigma^{\prime} &  =0.91+1.96\times2.\,\allowbreak876\,2\times
10^{-2}\simeq0.\,\allowbreak966\,37
\end{align*}
En conclusion, l'intervalle de confiance cherch\'{e} est :%
\[
\left[  0,853;0,967\right]
\]

\item  Cette affirmation est fausse d'apr\`{e}s le cours.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

{\large EXERCICE II}

\textbf{PARTIE A}

\begin{enumerate}
\item  L'\'{e}quation caract\'{e}ristique est
\[
r^{2}-r-2=0
\]
qui a pour solution 2 et -1, donc les fonctions $y$ solutions de
l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle sont d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ par :%
\[
y\left(  x\right)  =Ae^{2x}+Be^{-x}%
\]
o\`{u} $A$ et $B$ sont deux constantes r\'{e}elles quelconques.

\item  On a :%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
h^{\prime}\left(  x\right)  =\left(  2-x^{2}\right)  e^{-x}\\
h^{\prime\prime}\left(  x\right)  =\left(  x^{2}-2x-2\right)  e^{-x}%
\end{array}
\]
ce qui permet facilement de v\'{e}rifier que
\[
h^{\prime\prime}\left(  x\right)  -h^{\prime}\left(  x\right)  -2h\left(
x\right)  =\left(  -6x-4\right)  e^{-x}%
\]
ce qui prouve bien que $h$ est une solution particuli\`{e}re de l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  $.

\item  D'apr\`{e}s le cours, on sait que toute solution de l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  $ est somme d'une solution
particuli\`{e}re et d'une solution de l'\'{e}quation $\left(  E_{0}\right)  $,
donc toute solution $f$ de $\left(  E\right)  $ a pour expression :%
\[
f\left(  x\right)  =Ae^{2x}+Be^{-x}+\left(  x^{2}+2x\right)  e^{-x}%
\]

\item  On a facilement :%
\[
f\left(  0\right)  =A+B=1\quad f^{\prime}\left(  0\right)  =2A-B+2=1
\]
ce qui donne un syst\`{e}me d'\'{e}quations ayant pour solutions $A=0$ et
$B=1$. La fonction $f$ a donc pour expression :%
\[
f\left(  x\right)  =\left(  x^{2}+2x+1\right)  e^{-x}=\left(  x+1\right)
^{2}e^{-x}%
\]
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  On a
\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(  x+1\right)  ^{2}=+\infty\quad\lim
_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}=+\infty\Rightarrow\lim_{x\rightarrow-\infty
}f(x)=+\infty
\]

\item  D'apr\`{e}s le cours, ou bien \`{a} l'aide du changement de variable
d\'{e}fini par $X=-x$, on a $\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2}e^{-x}=0$ et
$\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}=0$. Il suffit ensuite d'\'{e}crire
$f\left(  x\right)  $ sous la forme :%
\[
f\left(  x\right)  =x^{2}e^{-x}+2xe^{-x}+e^{-x}%
\]
pour en d\'{e}duire $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$.

\item  On en d\'{e}duit que la courbe repr\'{e}sentative de $f$ admet une
asymptote horizontale d'\'{e}quation $y=0$, c'est \`{a} dire l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $f$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ de $\mathbb{R}%
$,
\[
f^{\prime}(x)=2\left(  x+1\right)  e^{-x}-\left(  x+1\right)  ^{2}%
e^{-x}=\left(  2x+2-x^{2}-2x-1\right)  e^{-x}=\left(  1-x^{2}\right)  e^{-x}%
\]

\item  Comme $e^{-x}>0$, le signe de $f^{\prime}\left(  x\right)  $ est celui
de $\left(  1-x^{2}\right)  $, trin\^{o}me qui a deux racines $-1$ et $1$. En
cons\'{e}quence $\left(  1-x^{2}\right)  \mathbb{\geqslant}0$ sur $\left[
-1,1\right]  $. Donc $\left[  -1,1\right]  $ est l'intervalle solution de
l'in\'{e}quation $f^{\prime}(x)\mathbb{\geqslant}0$.

\item  On en d\'{e}duit facilement que $f$ est d\'{e}croissante sur $\left]
-\infty,-1\right]  $, croissante sur $\left[  -1,1\right]  $ et
d\'{e}croissante sur $\left[  1,+\infty\right[  $.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  On a \`{a} l'aide du formulaire :%
\[
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2}+t^{2}\varepsilon\left(  t\right)  \Rightarrow
e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}+x^{2}\varepsilon\left(  x\right)
\]
avec $\lim_{x\rightarrow0}\varepsilon\left(  x\right)  =0$.

\item  Il suffit d'utiliser le produit de deux d\'{e}veloppements limit\'{e}s
:%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
f\left(  x\right)  =\left(  x^{2}+2x+1\right)  \left(  1-x+\frac{x^{2}}%
{2}+x^{2}\varepsilon\left(  x\right)  \right)  \\
=1+x-\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\varepsilon\left(  x\right)
\end{array}
\]
en ne conservant dans le d\'{e}veloppement que les termes d'ordre au plus
\'{e}gal \`{a} deux.

\item  Une \'{e}quation de la tangente $T$ \`{a} la courbe $C$ au point
d'abscisse 0 est donc
\[
y=1+x
\]
et comme
\[
f\left(  x\right)  -\left(  1+x\right)  =-\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}%
\varepsilon\left(  x\right)
\]
on peut en d\'{e}duire que sur un voisinage de 0, le signe de cette
diff\'{e}rence est \'{e}gal \`{a} celui de $-\frac{1}{2}x^{2}$, c'est \`{a}
dire n\'{e}gatif. En cons\'{e}quence, on peut dire que la courbe $C$ est en
dessous de $T$ au voisinage de ce point.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ d\'{e}finie dans la partie B \'{e}tant une solution de
l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  $, on peut donc dire que
pour tout $x$ r\'{e}el :%
\[
f""\left(  x\right)  -f^{\prime}\left(  x\right)  -2f\left(  x\right)
=\left(  -6x-4\right)  e^{-x}%
\]
On isole facilement $f\left(  x\right)  $ dans un membre pour obtenir
l'\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e :%
\[
f\left(  x\right)  =\frac{1}{2}\left[  f^{\prime\prime}\left(  x\right)
-f^{\prime}\left(  x\right)  +(6x+4)e^{-x}\right]
\]

\item  Un simple calcul de d\'{e}rivation fournit :%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
F^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{1}{2}\left[  f^{\prime\prime}\left(
x\right)  -f^{\prime}\left(  x\right)  -6e^{-x}+\left(  6x+10\right)
e^{-x}\right]  \\
=\frac{1}{2}\left[  f^{\prime\prime}\left(  x\right)  -f^{\prime}\left(
x\right)  +(6x+4)e^{-x}\right]  \\
=f\left(  x\right)
\end{array}
\]
et ceci pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

\item  On remplace dans l'expression de $F\left(  x\right)  $ $f\left(
x\right)  $ et $f^{\prime}\left(  x\right)  $ par leurs expressions , ce qui
fournit facilement :%
\[
F\left(  x\right)  =\left(  -x^{2}-4x-5\right)  e^{-x}%
\]
\end{enumerate}

\item  L'aire $A$ de la partie du plan hachur\'{e}e sur la figure est, en
unit\'{e}s d'aire, donn\'{e}e par l'int\'{e}grale
\[
A=\int_{-1}^{0}f\left(  x\right)  dx=F\left(  0\right)  -F\left(  -1\right)
=2e-5
\]
\end{enumerate}
\end{document}