% Mod\`ele de document en LaTeX
%Version 1.5 du 26/11/2002
% Auteur : Michel Gosse ; modifi\'e JLC

% Utilisation : il suffit de commenter ou de
% d\'ecommenter les lignes voulues.

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
% Chargement des fontes math\'ematiques

% Choix des polices de caract\`ers :
%\usepackage{times}
% On utilise la police times
%\usepackage{palatino,euler}
% police palatino pour le texte et euler pour les maths


\usepackage{fancybox}
% Package pour fabriquer des boites
% On ins\`ere une boite ombr\'ee par la commande :
% \shadowbox{texte \`a mettre en boite}

\usepackage{lastpage}
%Package pour num\'eroter les pages par
% rapport \`a la derni\`ere. La commande
% \thepage
% renvoie le num\'ero de la page courante
%  \pageref{LastPage}
% renvoie le num\'ero de la derni\`ere page du document.
% Il faut compiler deux fois le document.

\usepackage{geometry}
%package pour g\'erer la taille des marges
%pour avoir une marge horizontale de 1,5 cm et
% une marge verticale de 1,5 cm
\geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=2.5cm }

%\usepackage{fancyhdr}
% package pour faire des ent�tes
%On d\'ecommente les lignes suivantes :
% \pagestyle{fancy}
% \lhead{en t�te en haut \`a gauche}
% \chead{ en t�te en haut au centre}
% \rhead{en-t�te en haut \`a droite}
% \lfoot{en-t�te en bas \`a gauche}
% \cfoot{en-t�te en bas au centre}
% \rfoot{en-t�te en bas \`a droite}

\usepackage{multicol}
% permet de faire du multicolonnage.
% Pour ins\'erer deux colonnes :
% \begin{multicols}{2}
%ins\'erer votre texte
% \end{multicols}

%\usepackage{enumerate}
%permet de faire des listes personnalis\'ees
% Par exemple :
% \begin{enumerate}[argument] o\`u argument vaut :
% A : \item produira A. B.....
% a : \item produira a. b.
% I : \item produira I, II, IIi
% i : \item produira i, ii, iii..
% 1: \item produira 1, 2, 3
% EX i : \item produira EX i., EX ii,
% {A}-I \item produira A-I, A-II,...
% \end{enumerate}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
% Ces deux packages g\`erent le fran�ais et
% permettent l'utilisation des lettres accentu\'ees.

\usepackage{eurosym}
% gestion du symbole euro
% \`a utiliser avec :
% \euro{} ou  \geneuro{} ou \geneuronarrow{} ou \geneurowide

% copyright Franck Herbert
% compilation avec les options pdftex ou dvips
% pour les packages graphicx et hyperref.

\newif \ifpdf
    \ifx \pdfoutput \undefined
        \pdffalse
    \else
        \pdftrue
\fi

\ifpdf
    \pdfinfo { /Author (your name and e-mail address)
               /Title  (official title -- i.e., title element)
               /Subject (one line description of the document)
    }
    \pdfcatalog { /PageMode (/UseNone)
              % /OpenAction (fitbh)
    }
   \usepackage{pslatex}
   \usepackage[pdftex]{graphicx}
    \usepackage[pdftex]{hyperref}
\else
   \usepackage[dvips]{graphicx}
    \usepackage[ps2pdf]{hyperref}
   \fi

% Gestion des graphiques avec le package graphicx :
% On ins\`ere le graphique fig.eps avec une
% \'echelle de 1 par la commande :
% \includegraphics[scale=1]{fig.eps}

%Gestion des liens avec le package hyperref :
%\href{url}{texte pour faire un lien}


%*******Macros diverses ***********

% D\'efinit un environnement exercice avec un compteur
% usage :
% \begin{exercice}
%\end{exercice}
\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\Roman{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~:}}}
\newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm}

% Pour avoir de jolis vecteurs.
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}

% Ensembles R, C, N et D
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}

% Rep\`ere (O,i,j)
%usage : \RE
\newcommand{\RE}{(O;\V{i},\V{j})}
% Rep\`ere (O;u,v)
\newcommand{\RC}{(O;\V{u},\V{v})}
% un autre rep\`ere (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre rep\`ere (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\newcommand{\tn}[1]{\textnormal{#1}}
\newcommand{\e}{{\rm e}}
\newcommand{\dd}{{\rm d}}
%*********Fin des macros***********

% D\'ebut du document

\begin{document}
%en t�te et pied de page:
%  \lhead{                        \hfill
%         02/03                   \hfill
%         11/09                   \hfill
%         \jobname.tex            \hfill
%         \thepage/ \pageref {LastPage} }
%  \chead{} \rhead{}
%  \lfoot{} \cfoot{} \rfoot{}
%  \renewcommand{\headrulewidth}{0.1pt} % ligne apr\`es l'entete 0pt : ...
%  \ ...pas de ligne
%  \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % ligne avant le pied de page
%fin de l'en t�te et pied de page
%==========================consignes==============================
%\begin{tabbing}
%  \hspace{10cm}\= \kill
%  \>\textit{Dur\'ee : 2 heures  ; calculatrice autoris\'ee         }\\
%  \>\textit{Le formulaire IRIST  est seul autoris\'e}\\
%  \>\textit{Justifier chaque r\'eponse avec pr\'ecision}\\
%  \>\textit{laisser libre la premi\`ere page         }\\
%  \>\textit{Soigner la pr\'esentation                }\\
%  \>\textit{bar\`eme :                                }
%\end{tabbing}
%==========================fin des consignes======================
 \begin{center} \Large \textbf{Math\'ematiques - Groupe A - Session 2003}  \end{center}
 %=========================d\'ebut des exercices====================
 \noindent{ \Large {\textbf{Exercice 1 (10 points)}}}
 \vspace{1ex}\\
 {\it Le but de cet exercice est de d\'eterminer les premiers
 coefficients de Fourier et les principales harmoniques d'un
 signal. }\\
 \noindent{ \large {\textbf{Partie A}}}
 \vspace{1ex}\\
 Pour tout entier naturel $n$, on consid\`ere les int\'egrales :
 $$I_n=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos(nx)\dd x
 ~\tn{et}~J_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos(nx)\dd x $$
\begin{enumerate}
  \item %1
   Montrer que $I_n=-\frac{1}{n}\sin n\frac{\pi}{2}$.
  \item %2
   A l'aide d'une int\'egration par partie, montrer que
   $J_n=\frac{\pi}{2n}\sin\left(n \frac{\pi}{2} \right)
        +\frac{1}{n^2}\cos\left(n \frac{\pi}{2} \right)
        -\frac{1}{n^2}$
  \item %3
   D\'eterminer $I_1$, $I_2$ et $I_3$, puis $J_1$, $J_2$ et $J_3$.
\end{enumerate}
 \noindent{ \large {\textbf{Partie B}}}
 \vspace{1ex}\\
 Soit $f$ la fonction num\'erique d\'efinie sur $\textbf{R}$, paire,
 p\'eriodique de p\'eriode $2\pi$, telle que :
      $$\left\lbrace\begin{array}{l}
    \tn{si}~0\leq t \leq \frac{\pi}{2}~f(t)=\frac{2E}{\pi} t \\
    \tn{si}~\frac{\pi}{2} <  t \leq \pi~f(t)=E
      \end{array}\right.$$
 o\`u $E$ est un nombre r\'eel donn\'e, strictement positif.
\begin{enumerate}
  \item %1
   Tracer, dans un rep\`ere orthogonal, la repr\'esentation graphique
   de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi,+\pi]$ (on prendra $E=2$
   uniquement pour construire la courbe repr\'esentant $f$).
  \item %2
   Soit $a_0$ et pour tout entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a $1$,
   $a_n$ et $b_n$ les coefficients de Fourier associ\'es \`a $f$.
\begin{enumerate}
  \item %a
   Calculer $a_0$.
  \item %b
   Pour tout $n\geq 1$, donner la valeur de $b_n$.
  \item %c
   En utilisant la partie A, v\'erifier que pour tout $n\geq
   1$, $a_n=\frac{2E}{\pi^2}(2J_n+\pi I_n)$.\\
   Calculer $a_{4k}$ pour tout entier $k\geq 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \noindent{ \large {\textbf{Partie C}}}
 \vspace{1ex}
\begin{enumerate}
  \item %1
   D\'eterminer les coefficients $a_1$, $a_2$, $a_3$.
  \item %2
   Calculer $F^2$, carr\'e de la valeur efficace de la fonction $f$
   sur une p\'eriode.\\
   On rappelle que dans le cas o\`u $f$ est paire, p\'eriodique de
   p\'eriode $T$, on a :
   $$F^2=\frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}f^2(t)\dd t$$
  \item %3
   On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :
    $$F^2=a_0^2+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n^2+b_n^2}{2}$$
    Soit $P$ le nombre d\'efini par
    $P=a_0^2+\frac12(a_1^2+a_2^2+a_3^2)$.\\
    Calculer $P$, puis  donner la valeur d\'ecimale arrondie au
    milli\`eme du rapport $\frac{P}{F^2}$.\\
    {\it Ce dernier r\'esultat tr\`es proche de $1$, justifie que dans
    la pratique, on peut n\'egliger les harmoniques d'ordre
    sup\'erieur \`a $3$.}
\end{enumerate}
 \vspace{2ex}
 %==================fin d'exercice================================
 \noindent{ \Large {\textbf{Exercice 2 (10 points)}}}
 \vspace{1ex}\\
  On note $j$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument
  $\frac{\pi}{2}$.\\
  On consid\`ere la fonction $H$ d\'efinie, pour tout nombre complexe
  $p$ distinct de $0$ et de $-1$, par :
  $$H(p)=\frac{1}{p(p+1)}$$
  Dans toute la suite de l'exercice on prend $p=j\omega$, o\`u
  $\omega$d\'esigne un r\'eel strictement positif.
\begin{enumerate}
  \item %1
   On note $r(\omega)$ le module du nombre complexe $H(j\omega)$
   et on consid\`ere la fonction $G$ d\'efinie, pour tout r\'eel
   $\omega$ par :
   $$G(\omega)=\frac{20}{\ln 10}\ln r(\omega)$$
\begin{enumerate}
  \item %a
   Montrer que $G(\omega)=-\frac{20}{\ln 10}
        \ln \left( \omega \sqrt{1+\omega^2}\right)$.
  \item %b
   D\'eterminer les limites de la fonction $G$ en $0$ et en
   $+\infty$.\\
   Montrer que la fonction $G$ est strictement d\'ecroissante sur
   $]0,+\infty[$.
\end{enumerate}
  \item %2
\begin{enumerate}
  \item %a
   Montrer qu'un argument $\varphi(\omega)$ de $H(j\omega)$ est :
   $$\varphi(\omega)=-\frac{\pi}{2}-\arctan \omega$$
  \item %b
   \'Etudier les variations de la fonction $\varphi$ sur    $]0,+\infty[$
   (on pr\'ecisera les limites en $0$ et en $+\infty$).
\end{enumerate}
  \item %3
   On consid\`ere la courbe $\cal C$ d\'efinie par la repr\'esentation
   param\'etrique :
      $$\left\lbrace\begin{array}{l}
         x(\omega)=-\frac{\pi}{2}-\arctan \omega \\
         y(\omega)=-\frac{20}{\ln 10}
        \ln \left( \omega \sqrt{1+\omega^2}\right)
      \end{array}\right.
   \tn{pour} \omega \tn{strictement positif.}$$
\begin{enumerate}
  \item %a
   Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions $x$
   et $y$.
  \item %b
   Recopier et compl\'eter le tableau de valeurs suivant (on donnera des
   valeurs d\'ecimales arrondies au centi\`eme) :
  $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  \omega   & 0,5 & 0,7 & 0,786 & 0,9 & 1,5 \\
\hline
 x(\omega) &     &     & -2,24 &     &     \\
\hline
 y(\omega) &     &     &   0   &     &     \\
\hline
\end{array}$$
  \item %c
  Tracer la courbe ${\cal C}$ dans un rep\`ere orthogonal, on
  prendra pour unit\'es graphiques $5$ cm sur l'axe des ordonn\'ees.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
  {\it La courbe ${\cal C}$ correspond au diagramme de Black associ\'e \`a
  la fonction de transfert $H$.}
 \vspace{2ex}
 %==================fin d'exercice================================

 \end{document}    % fin du document
