% =========================================================================
% fichier
% =========================================================================

\documentclass[10pt,a4paper]{article}

% 1========================================================================
% Les packages suivants sont necessaires pour une bonne compilation du
% document. Il contiennent les definitions de certains symboles.

\usepackage{amssymb}  %gestion des symboles mathématiques

% 2========================================================================
% Les packages suivants ne sont pas indispensables. Il permettent d'améliorer
% la mise en page, d'insérer des décorations ou des images, de changer la police
% du texte. Ils définissent aussi certaines macros.
% Ils sont soit activés, soit désactivés en fonction des choix effectués par
% l'auteur. Un % devant la ligne correspondante désactive le package.

%\usepackage{times} %polices postscript
\usepackage[T1]{fontenc} %gestion des caractères accentués
\usepackage{amsmath}  %gestion des symboles mathématiques
\usepackage{lastpage} % gestion du nombre de pages
\usepackage{fancyhdr}  %permet la gestion d'en tête (et de pied de page)
\usepackage[french]{babel}   %gestion du francais
\usepackage{amsfonts} %gestion des fontes mathématiques
\usepackage[]{palatino} %changement des fontes par défaut
%\usepackage[]{palatino,euler} %changement des fontes par défaut
%\usepackage{graphicx} %gestion des graphiques en postcript
%\usepackage{fancybox} %gestion des encadrements
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
\usepackage{geometry} %gestion des marges du document
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
\usepackage{multicol} %gestion du multicolonnage

% 3========================================================================
% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes
% suivantes jusqu'à la section 4

\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
\def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}}
\def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}}

% 4========================================================================
% Definitions du format de la page
% Ces définitions permettent de régler tous les paramètres de la page.
\pagestyle{fancy} %style avec entetes et pieds de page
%\textwidth 16.5cm
%\textheight 24cm
%\oddsidemargin 0cm
%\evensidemargin 0cm
%\marginparsep 0cm
%\headsep 0cm
%\topmargin 0cm
%\topskip 0cm
%\headheight 0cm
%\footskip 1cm
%\parindent0pt

%4bis========================================================================
% Cette section permet d'utiliser le package geometry.sty pour régler
% les marges du document. Si cette section est utilisée, alors les réglages
% de la section précédente sont inutiles et peuvent être désactivés.

\geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=1.5cm }
% marges droite et gauche réglées à 2.5cm
% marges haute et basse réglées à 1.5cm

% 5========================================================================
% Macros utilisees ici. Ces macros sont personnelles à l'auteur du texte et
% permettent la compilation du document. Il se peut que cette section soit
% vide si l'auteur n'a pas de macros personnelles.

% 6========================================================================
\everymath{\displaystyle}
%pour être automatiquement en \displaystyle

% =========================================================================
%   FIN DU PREAMBULE ET DEBUT DU DOCUMENT
% =========================================================================

\begin{document}
%en tête et pied de page:
  \lhead{LPI                     \hfill
         99/2000                 \hfill
         06/06                   \hfill
         \jobname.tex            \hfill
         \thepage/ \pageref {LastPage} }
  \chead{} \rhead{}
  \lfoot{} \cfoot{} \rfoot{}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0.1pt} % ligne après l'entete 0pt : ...
  %\ ...pas de ligne
  \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % ligne avant le pied de page
%fin de l'en tête et pied de page
%==========================consignes==============================
%\begin{tabbing}
%  \hspace{10cm}\= \kill
%  \>\textit{durée : 3 heures                       }\\
%  \>\textit{justifier chaque réponse avec précision}\\
%  \>\textit{laisser libre la première page         }\\
%  \>\textit{soigner la présentation                }\\
%  \>\textit{barème : 4 5 11                        }
%\end{tabbing}
%==========================fin des consignes======================
 \begin{center} \Large \textbf{ BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}
 \end{center}
 \begin{center}
 Session 2000 Épreuve de Mathématiques - Groupe A - Durée : 3 heures\vspace{1cm}\\
 \begin{tabular}{|c|c|}
\hline
                      SPÉCIALITÉS                        & COEFFICIENT \\
\hline
     Contrôle industriel et régulation automatique       &      2      \\
\hline
                      Électronique                       &      2      \\
\hline
                      Génie optique                      &      3      \\
\hline
                Informatique Industrielle                &      3      \\
\hline
                    Électrotechnique                     &      1      \\
\hline
 Techniques Physiques pour l'industrie et le Laboratoire &      3      \\
\hline
\end{tabular}\vspace{1cm}\\
 Le sujet
 comprend 3 pages, numéroté de 1 à 3 \\
 Le formulaire officiel de
 mathématiques est joint au sujet.\\
 Il comprend 6 pages, numérotées
 de 1 à 6.\vspace{1cm}\\
 {\it
 La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction\\
 interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. \\
 L'usage des instruments de calcul et du
 formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
 }
 \end{center} \newpage
 %==================exercice 1=====================================
 \noindent{ \Large {\textbf{Exercice 1 (8 points)}}}
 \vspace{1ex}\\
 {\it Les objectifs de cet exercice sont d'obtenir le développement
 en série de Fourier d'une fonction puis d'utiliser ce
 développement pour obtenir les sommes de deux séries numériques.
 }\\
 On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ , paire,
 périodique de période $\pi$, telle que :
 $$f(t)=\frac{\pi}{2}t~~~\textnormal{si}~~~ t~~~\textnormal{appartient à
 l'intervalle}~~~\left[0~,~\frac{\pi}{2}\right]$$
\begin{enumerate}
  \item %1
   Tracer la représentation graphique de
 la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~,~+\pi]$.
  \item %2
   Déterminer les
 coefficients de Fourier réels associés à la fonction $f$. On
 précisera la valeur de $a_n$, suivant la parité de l'entier non nul $n$.
  \item %3
\begin{enumerate}
  \item %a
   Montrer que la fonction $f$ vérifie les conditions
 d'application du théorème de Dirichlet.
  \item %b
   Soit $S(t) = \frac{{\pi}^2}{8}-
   \sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(2p+1)^2}\cos\left( 2(2p+1)t
   \right)$\\
   Donner, en la justifiant la
   valeur de $S(t)$ sur $\left[0~,~\frac{\pi}{2}\right]$
   puis sur $\left[\frac{\pi}{2}~,~\pi \right]$.
\end{enumerate}
  \item %4
 Soient les séries
 numériques, convergentes, de terme général
 $$u_p=\frac{1}{(2p+1)^2}~~~\textnormal{et}~~~v_p=\frac{1}{(2p+1)^4}~~~
 \left(p\in \mathbb{N}\right).$$
\begin{enumerate}
  \item %a
  En utilisant le développement en série de Fourier de la
 fonction $f$ déterminer
 $$\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(2p+1)^2}.$$
  \item %b
  On rappelle
 la formule de Parseval : $\frac{1}{T}\int_a^{a+T}~f^2(t)~{\rm d}t=
 {a_0}^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\left({a_n}^2+{b_n}^2
 \right)$.\\
 En
 utilisant cette formule, déterminer
 $\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{(2p+1)^4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \vspace{2ex}
 %==================fin exercice 1=================================
 %==================exercice 2=====================================
 \noindent{ \Large {\textbf{Exercice 2 (12 points)}}}
 \vspace{1ex}\\
 Un système physique est régi par l'équation différentielle
 suivante dans laquelle les nombres $R$ et $C$ sont des constantes
 strictement positives.
 $$\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}(t)+\frac{1}{RC}v(t)=\frac{{\rm d}f}{{\rm
 d}t}(t)~~~~~~~~~(E1).$$
 \noindent{ \large {\textbf{Partie I}}}
 \vspace{1ex}\\
 \noindent Dans cette partie on suppose que la fonction $f$ est définie
 pour tout $t$ réel par :
      $\left\lbrace\begin{array}{l}
         f(t)=0~~~\textnormal{pour}~~~t<0 \\
         f(t)=V_0~~~\textnormal{pour}~~~t\geqslant 0
      \end{array}\right.$
 où $V_0$ est une constante réelle strictement positive.
\begin{enumerate}
  \item %1
 Calculer
 $\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}(t)$
 pour $t$ appartenant à $]-\infty~,~0[$ puis résoudre sur
 $]-\infty~,~0[$
 l'équation différentielle $(E1)$ avec la condition
 $v(0^-)=  \lim_{t\rightarrow 0^-} v(t) = 0$.
  \item %2
 Calculer
 $\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}(t)$
 pour $t$ appartenant à $]0~,~+\infty~[$ puis résoudre sur
 $]0~,+\infty~[$
 l'équation différentielle $(E1)$ avec la condition
 $v(0^+)=  \lim_{t\rightarrow 0^+} v(t) = V_0$.
   \item %3
  Étudier sur $]-\infty~,~0[~\cup~]0~,~+\infty~[$  les
 variations de la fonction $v$. Donner dans un repère orthonormal,
 l'allure de la représentation graphique de la fonction $v$ pour
 $t$
 réel non nul. On prendra, pour réaliser le graphique, $RC = 1$ et
 $V_0 = 2$
\end{enumerate}
 \noindent{ \large {\textbf{Partie II}}}
 \vspace{1ex}\\
 \noindent
 La fonction échelon unité apparaissant dans cette partie est
 définie par :
      $\left\lbrace\begin{array}{l}
         {\cal U}(t)=0~~~\textnormal{pour}~~~t<0 \\
         {\cal U}(t)=1~~~\textnormal{pour}~~~t\geqslant 0
      \end{array}\right.$\\
 Dans cette partie on
 suppose que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ réel par
 $f (t) = V_0\left( {\cal U}(t)-{\cal U}(t-\tau)    \right)$
  où $\tau$ est un réel strictement positif. Le
 système est alors régi par l'équation :
 $$ v(t) + \frac{1}{RC} \int_0^t~v(u)~{\rm d}u=f(t)~~~~~~~~~(E2).$$
 \begin{enumerate}
  \item %1
 Donner dans un repère orthogonal, la représentation
 graphique de la fonction $f$ (on prendra, pour réaliser le
 graphique,
 $V_0 = 2$ et $\tau = 1$). \\
 Déterminer la transformée de Laplace de la fonction $f$
  \item %2
   On suppose que la fonction $v$ est nulle pour $t < 0$, et
 qu'elle admet une transformée de Laplace notée $p \longmapsto V (p)$.
 \begin{enumerate}
  \item %a
   Résoudre, en utilisant la transformation de Laplace, l'équation
 $(E2)$.
  \item %b
    En déduire que la fonction $v$ est définie par:
      $$\left\lbrace\begin{array}{l}
         v(t) = 0~~~\textnormal{pour}~~~ t < 0\\
         v(t) = V_0~{\rm e}^{-\displaystyle\frac{t}{RC}}~~~\textnormal{pour}~~~ 0\leqslant t < \tau\\
         v(t) = V_0~{\rm e}^{-\displaystyle\frac{t}{RC}}
         \left(1- {\rm e}^{\displaystyle\frac{\tau}{RC}}  \right)~~~\textnormal{pour}~~~ t \geqslant \tau\\
      \end{array}\right.$$
 Dans cette question, on s'intéresse à la
 représentation graphique de la fonction $v$.
\end{enumerate}
  \item %3
\begin{enumerate}
  \item %a
 Calculer $v({\tau}^-)$
 définie par $v({\tau}^-)=\lim_{t\rightarrow {\tau}^-} v(t)$
 et montrer que $v({\tau}^-)<V_0$.
  \item %b
   Montrer que le "saut" $\sigma$ de la fonction $v$ en $t = \tau$ ,
   défini par $\sigma=v({\tau}^-)-v(\tau)$
   est égal à $V_0$.
  \item %c
   Étudier les variations de la
 fonction $v$ pour $t\geqslant \tau$.
  \item %d
   En utilisant les résultats précédents
 et ceux de la partie I, question $3$, donner l'allure de la
 représentation graphique de la fonction $v$ dans un repère
 orthogonal. On prendra, pour réaliser le graphique, $RC = 1$,
 $V_0=2$ et $\tau = 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \vspace{2ex}
 %==================fin exercice 2=================================
 \end{document}    % fin du document
