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article Le coloriage du logo - Solution de l’énigme     -    publié le 19/03/2017

Solution de l’énigme du jeudi 16 mars 2017 pour les élèves du cycle 4

• Voir l’énoncé de l’énigme

• Solution :

  • Un hexagone est composé de 6 triangles équilatéraux dont les longueurs des côtés sont égales au rayon du cercle circonscrit à l’hexagone.
  • La hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ est : $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. L'aire d'un triangle équilatéral de côté $a$ est donc : $\dfrac{1}{2}\times a\times \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
  • Ici, $a=30\,cm$ donc l'aire d'un triangle équilatéral est de $225\sqrt{3}\,cm^2$
  • On multiplie par 6 pour obtenir l'aire de l'hexagone : $6\times 225\sqrt{3}\,cm^2 = 1350\sqrt{3}\,cm^2$.
  • Pour calculer l’aire du C on peut commencer par calculer l’aire de la couronne entière. Il s’agit d’un disque de 20 cm de rayon dans lequel on a enlevé un disque de 10 cm de rayon : $\pi\times 20^2-\pi\times 10^2 = 300\pi$
  • Il reste à enlever $\dfrac{1}{6}$ de cette aire pour obtenir l’aire de C : $\dfrac{5}{6}\times 300\pi=250\pi$. L'aire du C est donc de $250\pi\, cm^2$
  • Le rapport des deux aires est donné par : $\dfrac{250\pi}{1350\sqrt{3}} \approx 0,336 $. C'est un peu plus que le tiers.
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