Nombre de chiffres 1 dans n - solution publié le 20/03/2016

Soit la somme :

$n=9+99+999+9999+...+9999...999$
Le dernier nombre de cette somme contenant 999 chiffres 9.

Cette somme comporte donc 999 termes et elle peut s’écrire :

$n=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+.....+(10^{99}-1)$
En changeant l’ordre des termes , on peut écrire :
$n=10+100+1000+10000+...+10^{99}-999$
Soit encore :

$n=11111...10-999$
ou le premier nombre de cette différence est constitué de 999 chiffres 1 et d’un chiffre 0.
On peut écrire n sous la forme :

$n=111111...1110000+1110-999$
ou le premier nombre de cette somme comporte 996 chiffres 1 et 4 chiffres 0.
Or $1110-999=111$

Donc n peut s’écrire :
$n=111111...110111$

Ainsi n est constitué de 996 chiffres 1, d’un chiffre 0, puis de 3 chiffres 1.
L’écriture de n comporte 999 chiffres 1.