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article Le gâteau d’anniversaire - Solution de l’énigme     -    publié le 16/03/2012

- Voir l’énoncé de l’énigme

 

Solution :

• Découpe du gâteau

  • On choisit un point vers le centre du gâteau qui se trouve à moins de 17 cm des 4 sommets ; il est noté E sur la figure ci-dessous.
  • On coupe le gâteau en partant de E jusqu’à chacun des 4 sommets.
  • La première jumelle mangera les deux parts vertes AEB et CDE et la deuxième jumelle mangera les deux autres parts bleues BCE et ADE.
  • Ce partage est équitable !
    Le gâteau d'anniversaire

• Justification de l’égalité des parts

  • Imaginons que les droites parallèles aux côtés du carré qui passent par E soient tracées.
  • La première coupe le côté [AB] en F et le côté [CD] en G.
  • La deuxième coupe le côté [BC] en H et le côté [AD] en I.
  • Les quadrilatères AFEI, BHEF, CGEH et DIEG sont des rectangles partagés en deux triangles rectangles de mêmes aires par l’une de leurs diagonales.
  • Aire(ABE) + Aire(CDE) = Aire(AEF) + Aire(BEF) + Aire(CEG) + Aire(DEG)
  • Aire(ABE) + Aire(CDE) = Aire(AEI) + Aire(BEH) + Aire(CEH) + Aire(DEI)
  • Aire(ABE) + Aire(CDE) = Aire(AEI) + Aire(DEI) + Aire(BEH) + Aire(CEH)
  • Aire(ABE) + Aire(CDE) = Aire(ADE) + Aire(BCE)
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