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article Un périmètre de triangle constant.     -    publié le 24/06/2010

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• Fiche professeur

  1. Niveau : quatrième.
  2. Durée prévue : 30 min.
  3. Prérequis : savoir la notion de tangente, savoir utiliser le Théorème de Pythagore.
  4. Objectifs : résoudre un problème en utilisant le calcul algébrique et les propriétés géométriques.
  5. Apport du logiciel : Vérifier rapidement la validité de la question.

• Fiche élève

Les tangentes en deux points non diamétralement opposés A et B d’un cercle \mathcal{C} de centre O et de rayon quelconque se coupent en I.
M étant un point de l’arc AB, la tangente à \mathcal{C} en M coupe [AI] en C et [BI] en D.
Question : Montrer que le périmètre du triangle CDI est constant.

Le problème étant assez compliqué, on peut proposer éventuellement quelques pistes :

  • Le triangle OAC est rectangle, on peut donc appliquer un célèbre théorème.
  • Exprimer OC^2 en fonction de OM^2 et CM^2 dans le triangle OCM.
  • En déduire que AC=CM.
  • Pour les deux questions précédentes, on a utilisé deux rayons d’un même cercle et la même hypoténuse...

• Apport d’un logiciel de géométrie dynamique

La figure peut être construite avec GeoGebra et l’on peut utiliser la fonction tableur de celui-ci pour vérifier que le périmètre est bien constant.

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Avec le tableur de GeoGebra

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