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Un périmètre de triangle constant. - publié le 24/06/2010

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• Fiche professeur

Niveau : quatrième.
Durée prévue : 30 min.
Prérequis : savoir la notion de tangente, savoir utiliser le Théorème de Pythagore.
Objectifs : résoudre un problème en utilisant le calcul algébrique et les propriétés géométriques.
Apport du logiciel : Vérifier rapidement la validité de la question.

figure (Fichier GeoGebra de 2.1 ko)

Plein écran

• Fiche élève

Les tangentes en deux points non diamétralement opposés $A$ et $B$ d’un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon quelconque se coupent en $I$ .
$M$ étant un point de l’arc $AB$ , la tangente à $\mathcal{C}$ en $M$ coupe $[AI]$ en $C$ et $[BI]$ en $D$ .
Question : Montrer que le périmètre du triangle $CDI$ est constant.

Le problème étant assez compliqué, on peut proposer éventuellement quelques pistes :

Le triangle $OAC$ est rectangle, on peut donc appliquer un célèbre théorème.
Exprimer $OC^2$ en fonction de $OM^2$ et $CM^2$ dans le triangle $OCM$ .
En déduire que $AC=CM$ .
Pour les deux questions précédentes, on a utilisé deux rayons d’un même cercle et la même hypoténuse...