Bon anniversaire à vous deux ! publié le 29/01/2021 - mis à jour le 09/04/2021
Modélisation en probabilités
Les élèves et la modélisation
Les sollicitations préalables à la résolution du problème par le travail maison de recherche et le quiz ont pleinement joué le rôle attendu, à savoir, immerger les élèves dans le problème et provoquer de l’enthousiasme pour le résoudre. Il est issu de la réalité, tous les élèves se sentent concernés. Ils doivent trouver un moyen d’y répondre, utiliser un modèle. Il est toujours souhaitable qu’un modèle soit issu de la réflexion des élèves. Dans notre activité, il est indéniable que le travail préliminaire a influencé certains d’entre eux dans leur réflexion, dans l’élaboration d’une démarche et dans la recherche d’un modèle.
Mais tout l’intérêt pour nous est d’obtenir les deux types d’études souhaitées pour les comparer. Et tel est bien le cas : des élèves ont travaillé dans le domaine de la réalité et d’autres ont utilisé le modèle de Bernoulli que ce soit pour calculer la probabilité de l’événement, ou, pour obtenir une fréquence s’en rapprochant par simulation avec l’instruction « ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;365) ».
Une première réaction s’est produite avec les probabilités, issues du modèle mathématique, qui sont en opposition avec les réponses au quiz de quasiment tous les élèves,
Tableau présentant les probabilités de succès selon l’effectif du groupe
La fréquence de l’échantillon par simulation a renforcé cette opposition à leurs préjugés.
Occasion ici de soulever la question : la fréquence de notre échantillon obtenue par simulation est-elle représentative de l’ensemble ? Ce qui nous amène à l’intervalle de fluctuation.
Copie d’écran de tableur présentant les bornes de l’intervalle de fluctuation.
Puis arrive la comparaison de ces résultats du modèle mathématiques à ceux de la réalité.
Il est regrettable de ne pas avoir pu exploiter les récoltes de données sur les personnalités à cause de la taille trop faible de l’échantillon obtenu.
En revanche, les données du lycée sont exploitables et nous obtenons la différence attendue.
Copie d’écran de tableur donnant la fréquence de l’événement pour les élèves du lycée Branly
Nous pouvons également illustrer notre propos avec les données de l’INSEE donnant le nombre de naissances par jour.
Répartition des naissances en France selon les jours de l’année 2019
Le sens critique est éveillé et les questions émergent spontanément des élèves :
Pourquoi cette différence ? Qu’est-ce qui pourrait expliquer que le modèle ne « colle » pas à la réalité ?
Les élèves viennent écrire leurs propositions de réponses au tableau.
Photo du tableau de classe où sont notées les propositions d’élèves.
Pour conclure, cette activité met bien en lumière le paradoxe. De plus, elle permet de constater que les modèles mathématiques nous donnent des résultats qui ne concordent pas toujours avec les résultats réels.
En conséquence, la question de la véracité des modèles mathématiques est sous-jacente, chose rarement remise en cause dans l’enseignement, les élèves faisant généralement confiance à leur professeur.
Prolongement et perspectives
Il serait intéressant de faire réfléchir les élèves sur la différence entre la stabilisation de la fréquence pour une expérience et la variation de la fréquence d’une expérience à l’autre dans le cadre d’un travail sur les fluctuations d’échantillonnage.
Documents de référence
Document élève pour l'activité sur les anniversaires (PDF de 68.3 ko)
Document élève pour l’activité sur les anniversaires
Travail préparatoire de l'activité (PDF de 51 ko)
Fiche de consignes pour le travail à faire à la maison afin de préparer l’activité
Fichier tableur récapitulatif sur les groupes de personnalités (OpenDocument Spreadsheet de 20.6 ko)
Fichier tableur récapitulatif sur les groupes de personnalités
Fichier tableur des dates de naissances de tous les élèves du lycée (OpenDocument Spreadsheet de 42.2 ko)
Fichier tableur des dates de naissances des élèves du lycée pour la piste 1
Fichier tableur pour la simulation de l'expérience aléatoire (OpenDocument Spreadsheet de 229.5 ko)
Fichier tableur pour la simulation de l’expérience aléatoire, utilisé pour la piste 2