% =========================================================================
% fichier test.tex
% Sujet : Test d'installation d'un syst�me tex
% Ce document permet de v�rifier si la compilation s'effectue correctement.
% =========================================================================

\documentclass[11pt,a4paper]{article}

% 1========================================================================
% Les packages suivants sont necessaires pour une bonne compilation du
% document. Il contiennent les definitions de certains symboles.

\usepackage{amssymb}  %gestion des symboles math�matiques

% 2========================================================================
% Les packages suivants ne sont pas indispensables. Il permettent d'am�liorer
% la mise en page, d'ins�rer des d�corations ou des images, de changer la police
% du texte. Ils d�finissent aussi certaines macros.
% Ils sont soit activ�s, soit d�sactiv�s en fonction des choix effectu�s par
% l'auteur. Un % devant la ligne correspondante d�sactive le package.

\usepackage[T1]{fontenc} %gestion des caract�res accentu�s
\usepackage{amsmath}  %gestion des symboles math�matiques
\usepackage[french]{babel}   %gestion du francais
\usepackage{amsfonts} %gestion des fontes math�matiques
%\usepackage[]{palatino,euler} %changement des fontes par d�faut
%\usepackage{graphicx} %gestion des graphiques en postcript
%\usepackage{fancybox} %gestion des encadrements
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
\usepackage{geometry} %gestion des marges du document
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{multicol} %gestion du multicolonnage

% 3========================================================================
% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
%\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer �ventuellement les lignes
% suivantes jusqu'� la section 4

\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
%\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
%\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
%\def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}}
%\def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}}

% 4========================================================================
% Definitions du format de la page
% Ces d�finitions permettent de r�gler tous les param�tres de la page.

%\pagestyle{plain}
%\textwidth 16.5cm
%\textheight 24cm
%\oddsidemargin 0cm
%\evensidemargin 0cm
%\marginparsep 0cm
%\headsep 0cm
%\topmargin 0cm
%\topskip 0cm
%\headheight 0cm
%\footskip 1cm
%\parindent0pt

%4bis========================================================================
% Cette section permet d'utiliser le package geometry.sty pour r�gler
% les marges du document. Si cette section est utilis�e, alors les r�glages
% de la section pr�c�dente sont inutiles et peuvent �tre d�sactiv�s.

\geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=1.5cm }
% marges droite et gauche r�gl�es � 2.5cm
% marges haute et basse r�gl�es � 1.5cm

% 5========================================================================
% Macros utilisees ici. Ces macros sont personnelles � l'auteur du texte et
% permettent la compilation du document. Il se peut que cette section soit
% vide si l'auteur n'a pas de macros personnelles.

% =========================================================================
%   FIN DU PREAMBULE ET DEBUT DU DOCUMENT
% =========================================================================


\begin{document}
\centerline{\large{\textbf{Quelques exemples de devoirs
d'arithm�tique propos�s en 98-99}}} \vspace{1cm} Ces pages
accueillent des textes de devoirs surveill�s qui ont �t� donn�s en
TS en 98-99.\\[1cm]
 Etant donn� qu'il s'agit de la premi�re ann�e
d'enseignement de l'arithm�tique en terminale, ces devoirs n'ont
pas toujours donn� enti�rement satisfaction � leurs auteurs.\\
\begin{itemize}
  \item Les textes ont �t� parfois trop longs et les �nonc�s pas toujours bien compris
par les �l�ves.
  \item Faute de recul il a �t� parfois �t� d�licat de pr�voir le
comportement des �l�ves face � certaines difficult�s.
  \item L'alg�bre intervient souvent et la
  faiblesse de certains �l�ves dans ce domaine bloque la
  r�solution de certains exercices.
\end{itemize}
Il ne faut pas sombrer dans le pessimisme : il y a quand m�me des
exercices qui ont bien march� et qui ont atteint leur objectif !
\\[1cm]

 \textbf{Texte 1}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] D�composer en produit de facteurs premiers le nombre $7\,408\,800$. Quel est
le nombre de ses diviseurs positifs ?
\item[\textbf{2.}] Calculer la somme des diviseurs positifs de $2^{999}$.
\item[\textbf{3.}] Expliquer pourquoi $a^3 + 1$ est factorisable par $a+1$.\\ En d�duire que %%@
$1\,998^{1\,998} + 1$ n'est pas premier.
\item[\textbf{4.}] D�montrer que $10^{1\,998} - 1$ est divisible par $99$.\\ Combien de chiffres %%@
comporte le deuxi�me facteur~?
\item[\textbf{5.}] Soit $N$ le produit de tous les nombres premiers de 1 � 1000.\\
\begin{itemize}
  \item D�montrer que le nombre $N+2$ n'est pas premier, ni le nombre $N+3$, ni le nombre $N+121$, ni %%@
le nombre $N+539$.
  \item Soit $K$ un entier positif de l'intervalle $[2\ ;\ 1000]$ et $ p_1,
p_2, \ldots, p_n$ les entiers premiers inf�rieurs � 1000. De
quelle fa�on sont constitu�s les diviseurs de $K$?\\ En d�duire
que $N + K$ n'est pas premier.


\end{itemize}
\vspace{0.5cm} On rappelle la formule : ${a^{n+1} -1} =
{(a-1)}(a^n +\ \cdots \ + 1 )$.\\


\end{enumerate}
\textit{dur�e : 1h \hspace{5cm} auteur :  J-P Prigent \hspace{1cm}
Lyc�e Louis Armand  Poitiers} \newpage  \textbf{Texte 2}\\
\textbf{exercice 1}\\ On consid�re le nombre $N= 2^n\times p$, $n$
d�signant un entier naturel et $p$ un nombre premier.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}]

\begin{itemize}
  \item[a)]  Dresser la liste des $2(n+1)$ diviseurs de $N$.
  \item[b)] Soit S la somme des diviseurs de $N$. Montrer que
S = $(1+p)(2^{n+1} -1)$.
\end{itemize}
\item[\textbf{2.}]

\begin{itemize}
  \item[a)]  Quelle relation $n$ et $p$ doivent-ils v�rifier pour que $N$ soit �gal � la
somme de ses diviseurs autres que $N$ ?
  \item[b)]  Donner alors les trois
plus petites valeurs de $p$ pour qu'il en soit ainsi et calculer
les valeurs correspondantes de $N$.

\end{itemize}
\end{enumerate}
 \textbf{exercice 2}\\
 En effectuant la division euclidienne de l'entier naturel $a$
par 45 on trouve l'entier $q$ non nul comme quotient et $4~q^2-3$
comme reste.\\ Quelles sont les valeurs possibles de $a$
?\\[0,2cm] \textbf{exercice 3}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] On effectue la division euclidienne de l'entier $n$ par 2. Quels sont les
restes possibles?\\ M�me question pour dans la division
euclidienne par 3?
\item[\textbf{2.}] Montrer que si $n$ n'est pas pair alors $n^2 + 5$ est pair.\\ D�montrer de
m�me que si $n$ n'est pas divisible par 3 alors $n^2 + 5$ est
divisible par 3.
\item[\textbf{3.}] D�duire des questions pr�c�dentes que pour tout entier $n$, l'entier $n(n^2
+ 5)$ est divisible par 6.
\end{enumerate}
 \textbf{exercice 4}\\
 En divisant 13875 et 949 par le m�me entier $d$ on %%@
trouve respectivement 15 et 13 pour restes.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Montrer que $d$ est un diviseur commun � 13860 et � 936 et que $d>15$.
\item[\textbf{2.}] Calculer $d$.
\end{enumerate}
\textbf{exercice 5}\\
 Deux entiers $a$ et $b$ ont pour pgcd 180 et pour ppcm 6300. On
pose $a'=\displaystyle{ \frac{a}{180}}$ et $b'=\displaystyle{
\frac{b}{180}}$.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Calculer $a'\times b'$.
\item[\textbf{2.}] En supposant $a'< b'$, d�duire de la question pr�c�dente les nombres $a'$ et
$b'$ puis $a$ et $b$.
\end{enumerate}
 \textbf{exercice 6}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Calculer le pgcd $D$ des nombres $254\,100$ et $76\,050$ par l'algorithme
d'Euclide \\ (on pourra v�rifier la valeur de $D$ en utilisant la
d�composition de $254\,100$ et $76\,050$ en facteurs premiers).
\item[\textbf{2.}] D�duire de la question pr�c�dente une solution particuli�re de
l'�quation\\ $254\,100x + 76\,050y = D$.\\ R�soudre alors cette
�quation dans $ \mathbb{Z}  \times \ \mathbb{Z}$.
\end{enumerate}
\textit{dur�e : 2h \hspace{4cm} auteur : J-P Prigent \hspace{1cm}
Lyc�e Louis Armand  Poitiers} \newpage  \textbf{Texte 3}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Quels peuvent �tre les restes dans la division par $3$ de l'entier $n$
?\\ Quels peuvent �tre ces restes lorsque $n$ est premier ?
\item[\textbf{2.}]
Quel peut �tre le reste dans la division par $3$ de l'entier $n$
lorsque les deux conditions ci-dessous sont simultan�ment
r�alis�es : $$\left\lbrace
\begin{array}{l} n \ \mathrm{est\  premier}\\ 8n -1 \ \mathrm{est
\ premier\ ?}
\end{array}
\right.$$ D�montrer alors que pour tous les entiers $n$ au moins
�gaux � $5$ r�alisant les deux conditions pr�c�dentes, $8n+1$ est
compos�.
\item[\textbf{3.}] D�montrer que si $n$ est premier, $8n^2 +1$ est en g�n�ral compos�.
\end{enumerate}
Dans les questions ind�pendantes ci-dessous
\\  $d$ d�signe le pgcd des entiers naturels non nuls $a$ et
$b$ ;\\  $m$ d�signe le ppcm de ces entiers ;\\  $a'=
\displaystyle{ \frac{a}{d}}$ et $b' = \displaystyle{
\frac{b}{d}}$.\\
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] On cherche tous les couples $(a,b)$ d'entiers naturels v�rifiant le syst�me
$$ \left \lbrace
\begin{array}{l}
a > b \\ a^2 + b^2 = 801 \\ m = 120
\end{array}
\right.$$
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Montrer que $d$ est un diviseur commun � $801$ et $120$. En d�duire les
valeurs possibles de $d$.
\item[\textbf{b.}] Exprimer $(a+b)^2$ en fonction de $m$ et $d$. D�terminer alors les couples
$(a,b)$.
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] On cherche tous les couples $(a,b)$ d'entiers naturels  v�rifiant le syst�me
$$ \left\lbrace
\begin{array}{l}
a < b \\ 2m + 3d = 78
\end{array}
\right.$$
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Montrer que $2a'b' + 3$ est un diviseur impair de $78$ au moins �gal � $5$.
\item[\textbf{b.}] D�terminer les couples  $(a,b)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textit{dur�e : 2h \hspace{4cm} auteur : J-P Prigent \hspace{1cm}
Lyc�e Louis Armand Poitiers} \newpage \textbf{Texte 4}\\[0.5cm]
\textbf{exercice 1}\\
  Pour tout entier naturel $n$ on consid�re l'entier
  $$u_n=3^{3n+3}-1$$D�montrer que $u_n$ est divisible par 26.\\
  NB : Cette propri�t� pourra �tre d�montr�e par r�currence mais
  aussi autrement. Vous �tes libre du choix de la m�thode de
  d�monstration.\\
  \textbf{exercice 2}\\D�terminer la d�composition de 2880
  en produit de facteurs premiers.\\
  En d�duire le nombre de diviseurs positifs de 2880.\\
  \textbf{exercice 3}\\ Soit $p$ un nombre premier et $n$ un
  entier naturel.
\begin{enumerate}
  \item D�terminer la liste, par ordre croissant,  des entiers naturels diviseurs de $p^n$.
  \item Calculer en fonction de $p$ et de $n$ la somme de ces
  diviseurs.
\end{enumerate}
  \textbf{exercice 4}
\begin{enumerate}
  \item Donner la liste, par ordre croissant, des entiers naturels diviseurs de 200.
  \item D�terminer toutes les suites de nombres entiers naturels de la forme :
  $$n+1, n+2, n+3, \cdots , n+m$$ dont la somme est 100.
\end{enumerate}
  \textbf{exercice 5}\\ La somme de deux entiers $x$ et $y$
  est �gale � 936664.\\ On suppose que $x>y$.\\ Quand on divise $x$
  par $y$ le quotient est 381.\\ Calculer les couples $(x,y)$
  d'entiers qui v�rifient les conditions pr�c�dentes.\\
\textbf{exercice 6}\\
  R�soudre l'�quation : $$x+y=xy$$ sachant que $x$ et $y$ sont des
  entiers.\\
  Afin de contr�ler les
  r�sultats obtenus, construire la courbe d'�quation :
  $x+y=xy$.\\[1cm]
\textit{dur�e : 2h \hspace{4cm} auteur : J-C Renaud \hspace{1cm}
Lyc�e Louis Armand Poitiers} \newpage \textbf{Texte 5}\\[0,5cm]
\textbf{exercice 1}\\ On divise l'entier naturel $n$ par 125.\\ Le
quotient est un entier $q$ strictement sup�rieur � 1 et le reste
vaut $2q^3-3$.\\Quelles sont les valeurs possibles de $n$ ?\\
\textbf{exercice 2}\\
 D�terminer les couples d'entiers naturels $(a,b)$ tels que :
 $$\left\lbrace
  \begin{array}{l}
    a\,b=5400 \\
    pgcd\,(a,b)=15\\
    a<b
  \end{array}
  \right.$$
\textbf{exercice 3}
\begin{enumerate}
  \item D�montrer que si les entiers naturels $a$ et $b$ sont
  premiers entre eux, il en est de m�me de $a$ et de $a+b$.
  \item En d�duire que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a+b$ et $a\,b$  sont premiers entre eux.
  \item D�montrer que la fraction $\displaystyle{ \frac{n}{n+1}}$
  est irr�ductible.
  \item En d�duire que $\displaystyle{
  \frac{n^2+n}{2n+1}}$ est irr�ductible.
\end{enumerate}

\textbf{exercice 4} \\Pour tout entier naturel $n$ au moins �gal �
2 on pose :
  $$a=n-1\qquad  b=n^2-3n+6$$
\begin{enumerate}
   \item
    D�montrer que les diviseurs de $a$ et $b$ sont les m�mes que ceux de
  $a$ et de 4.
  \item
   En d�duire le pgcd de $a$ et de $b$ suivant les valeurs de $n$.
\end{enumerate}
\textbf{exercice 5}\\On consid�re dans $ \mathbb{Z}^2$
  l'�quation :
  $$324x-245y=7$$
\begin{enumerate}
  \item D�montrer que pour toute solution $(x,y)$ de l'�quation,
  $x$ est multiple de 7.
  \item A l'aide de l'algorithme d'Euclide d�terminer une solution
  $(x_{0},y_{0})$ de l'�quation.
  \item En d�duire toutes les solutions de l'�quation.
  \item Soit $d$ le pgcd des entiers $x$ et $y$ tels que $(x,y)$
  soit une solution de l'�quation.\\ Quelles sont les valeurs
  possibles de $d$ ?
  \item D�terminer les solutions de l'�quation telles que $x$ et
  $y$ soient premiers entre eux.
\end{enumerate}

\textit{dur�e : 2h \hspace{4cm} auteur : J-C Renaud \hspace{1cm}
Lyc�e Louis Armand Poitiers}

\end{document}
