% =========================================================================
% fichier test.tex
% Sujet : Test d'installation d'un syst�me tex
% Ce document permet de v�rifier si la compilation s'effectue correctement.
% =========================================================================

\documentclass[12pt,a4paper]{article}

% 1========================================================================
% Les packages suivants sont necessaires pour une bonne compilation du
% document. Il contiennent les definitions de certains symboles.

\usepackage{amssymb}  %gestion des symboles math�matiques

% 2========================================================================
% Les packages suivants ne sont pas indispensables. Il permettent d'am�liorer
% la mise en page, d'ins�rer des d�corations ou des images, de changer la police
% du texte. Ils d�finissent aussi certaines macros.
% Ils sont soit activ�s, soit d�sactiv�s en fonction des choix effectu�s par
% l'auteur. Un % devant la ligne correspondante d�sactive le package.

\usepackage[T1]{fontenc} %gestion des caract�res accentu�s
\usepackage{amsmath}  %gestion des symboles math�matiques
\usepackage[french]{babel}   %gestion du francais
\usepackage{amsfonts} %gestion des fontes math�matiques
%\usepackage[]{palatino,euler} %changement des fontes par d�faut
%\usepackage{graphicx} %gestion des graphiques en postcript
%\usepackage{fancybox} %gestion des encadrements
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
\usepackage{geometry} %gestion des marges du document
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{multicol} %gestion du multicolonnage

% 3========================================================================
% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
%\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer �ventuellement les lignes
% suivantes jusqu'� la section 4

\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
%\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
%\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
%\def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}}
%\def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}}

% 4========================================================================
% Definitions du format de la page
% Ces d�finitions permettent de r�gler tous les param�tres de la page.

%\pagestyle{plain}
%\textwidth 16.5cm
%\textheight 24cm
%\oddsidemargin 0cm
%\evensidemargin 0cm
%\marginparsep 0cm
%\headsep 0cm
%\topmargin 0cm
%\topskip 0cm
%\headheight 0cm
%\footskip 1cm
%\parindent0pt

%4bis========================================================================
% Cette section permet d'utiliser le package geometry.sty pour r�gler
% les marges du document. Si cette section est utilis�e, alors les r�glages
% de la section pr�c�dente sont inutiles et peuvent �tre d�sactiv�s.

\geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=1.5cm }
% marges droite et gauche r�gl�es � 2.5cm
% marges haute et basse r�gl�es � 1.5cm

% 5========================================================================
% Macros utilisees ici. Ces macros sont personnelles � l'auteur du texte et
% permettent la compilation du document. Il se peut que cette section soit
% vide si l'auteur n'a pas de macros personnelles.

% =========================================================================
%   FIN DU PREAMBULE ET DEBUT DU DOCUMENT
% =========================================================================


\begin{document}
\centerline{\large{\textbf{Les exercices d'arithm�tique pos�s en
s�rie C il a 25 ans}}} \vspace{1cm} \noindent Autrefois
l'arithm�tique faisait partie du programme de la classe de
terminale C.\\ On trouve donc dans les annales de l'�poque des
exercices d'arithm�tique.\\ Voici la liste de ceux qui ont �t�
propos�s en juin 1974, il y a donc 25 ans ! \\[1cm] Les exercices
ou probl�mes dont seulement une question portait sur
l'arithm�tique n'ont pas �t� retenus.\\ On constate que certains
de ces exercices ne correspondent pas exactement au programme
actuel.\\ De plus ces exercices ont �t� �crits � une �poque o� les
�l�ves ne disposaient pas de moyens de calcul ; il est maintenant
possible d'aborder les situations consid�r�es de fa�on un peu
exp�rimentale avant de passer aux d�monstrations des propri�t�s
�tudi�es.

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Aix-Marseille} \\
  D�terminer un couple d'entiers relatifs $(x_{0},y_{0})$ tel que :
   $$ 37x_{0}+23y_{0}=1$$ En utilisant ce couple particulier
  d�terminer toutes les solutions dans $\mathbb{Z}\times
  \mathbb{Z}$ de : $$37x+23y=1$$
  \item \textbf{Bordeaux}
\begin{enumerate}
  \item[1] D�terminer le plus grand diviseur commun $d$ des nombres
  :$$ a=4420\qquad b=2772$$
  \item[2] D�terminer les restes dans la division par 5 des entiers
  naturels : $12^{d}$, $12^{a}$, $12^{b}$.

\end{enumerate}
  \item \textbf{Clermont-Ferrand}\\ Trouver l'ensemble des entiers
  naturels $n$ qui v�rifient :\\ \centerline{ $5^{4n}+5^{3n}+5^{2n}+5^{n}\equiv
  0\quad$  modulo 13} \\ (\textit{On pourra remarquer que} :
  $x^4+x^3+x^2+x=x(x+1)(x^2+1)$)
  \item \textbf{Dijon}\\ Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non
  nuls, $x$ un �l�ment de $ \mathbb{Z}-\{0,1\}$ donn�s, $
  \mathbb{Z}$ �tant l'ensemble des nombres entiers relatifs.
\begin{enumerate}
  \item[1] D�montrer l'�quivalence des propositions suivantes :
\begin{itemize}
  \item[$P_1$] : $p$ divise $x^2-x$
  \item[$P_2$] : pour tout entier naturel non nul $n$, $p$ divise
  $x^n-x$.
\end{itemize}

  \item[2] D�terminer les entiers relatifs $x$ tels que, pour tout
  entier naturel non nul $n$, 6 divise $x^n-x$.

\end{enumerate}

  \item \textbf{Lille}
\begin{enumerate}
  \item[1] On donne deux entiers $a$ et $b$ et on consid�re
  l'�quation : $ax-by=1$\\ o� l'inconnue est le couple $(x,y)$ d'entiers
  relatifs.\\ Trouver une condition n�cessaire et suffisante,
  portant sur $a$ et $b$, pour que l'ensemble des solutions de
  cette �quation ne soit pas vide.
  \item[2] V�rifier que le couple $(7,24)$ est solution de
  l'�quation : $$(E) \qquad 55x-16y=1$$ En d�duire l'ensemble des
  couples $(x,y)$ de $ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ qui sont
  solutions de $(E)$.

\end{enumerate}
 \item \textbf{Limoges}
\begin{enumerate}
  \item[1] a d�signe un entier naturel non nul donn�.\\ D�montrer
  que le nombre $A=a(a^2-1)$ est divisible par 6.
  \item[2] Plus g�n�ralement, d�montrer que $A_n=a(a^{2n}-1)$ est
  divisible par 6.\\( $n$ d�signe un entier naturel quelconque).\\
  \textbf{Application} : D�montrer que les sommes :
  $$S=a_1+a_2+\cdots +a_k\qquad S_n=a_1^{2n+1}+a_2^{2n+1}+\cdots
  +a_k^{2n+1}$$
  dans lesquelles $a_1$, $a_2$, $\cdots a_k$ d�signent des entiers
  naturels non nuls donn�s, ont le m�me reste de division par 6.

\end{enumerate}
 \item \textbf{Lyon}\\ Soit $P$ un plan affine euclidien muni d'un
 rep�re orthonorm� $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ et
 $D$ la droite de $P$ d'�quation : $3x+4y-1=0$
\begin{enumerate}
  \item[1] D�terminer l'ensemble $H$ de $D$ dont les coordonn�es
  sont des entiers relatifs.
  \item[2] Quel est l'ensemble $H'$ des points de $H$ dont le
  carr� de la distance � $O$ est un multiple de 13 ?

\end{enumerate}
\item \textbf{Nantes}\\ Etudier les restes des divisions par 9 des
puissances successives de 2.\\ D�montrer que le nombre
$2^{2n}(2^{2n+1}-1)-1$ est toujours divisible par 9, quel que soit
l'entier naturel $n$.
\item \textbf{Rennes}\\ Soit $\displaystyle{ \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}}$
  l'ensemble des classes d'entiers modulo 10.
\begin{enumerate}
  \item[1] R�soudre dans $\displaystyle{ \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}}$
l'�quation : $\overset{\cdot }{2}x=\overset{\cdot }{0}$
  \item[2] R�soudre dans $\displaystyle{
  \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}}\times \displaystyle{
  \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}}$ le syst�me :
   $$\left\lbrace
       \begin{array}{l}
       \overset{\cdot}{5}x+\overset{\cdot}{2}y=\overset{\cdot}{1}\\
       \overset{\cdot}{3}x+\overset{\cdot}{2}y=\overset{\cdot}{5}
       \end{array}
     \right.$$
\end{enumerate}
\newpage
\item \textbf{Rouen}\\ D�montrer que pout tout entier naturel $n$ : $\quad 3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par 7.
\item \textbf{Toulouse}\\ On consid�re l'application $f$ de
l'ensemble $ \mathbb{N}$ des entiers naturels vers l'ensemble $
\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ d�finie par : $f(n)=\overline{5^n}$\\ (
$\overline{5^n}$ d�signant la classe d'�quivalence de $5^n$ modulo
7 )
\begin{enumerate}
  \item[1]D�terminer $f(n)$ pour $n$ appartenant � l'ensemble
  $\{0,1,2,3,4,5,6\}$.
  \item[2] Montrer que $f$ est p�riodique et a pour p�riode 6.
  \item[3] D�terminer $f(n)$ suivant les valeurs de $n$.
  \item[4] En d�duire, suivant les valeurs de $n$, le reste de la
  division par 7 du nombre $12192^n$.
\end{enumerate}
\item \textbf{session de remplacement}\\

 Parmi les �preuves de la session de remplacement de
1974 on trouvait aussi les 4 exercices suivants :
\begin{enumerate}
  \item \textbf{exercice 1}\\ On d�cide de former des nombres en
  base dix en �crivant de gauche � droite quatre chiffres cons�cutifs dans
  l'ordre croissant, puis en permutant les deux premiers chiffres
  de gauche.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que tous les naturels ainsi obtenus sont des
  multiples de 11.
  \item L'un d'eux $N$ est un carr� parfait ; d�terminer $N$.

\end{enumerate}
 \item \textbf{exercice 2}\\ D�terminer tous les entiers naturels
 $n$ tels que $3+10^n$soit divisible par 7.
 \item \textbf{exercice 3}\\ Etudier les restes des quatre nombres
 $2,2^2,2^3,2^4$ dans la division par 5 et d�montrer que, quel que
 soit l'entier strictement positif $n$, le nombre\\
 $17^{4n+2}+32^{4n-1}+3$ est divisible par 5.
 \item \textbf{exercice 4}\\ Quel est, suivant la valeur de
 l'entier naturel $n$, le reste de la division euclidienne du
 nombre $5^n$ par 13 ?\\ En d�duire que, quel que soit l'entier
 naturel $n$ non nul, on a :
 $$18^{4n+1}-44^{4n-1}-3\times 96^{4n+2}\equiv 0\qquad(13)$$

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
