\documentclass[11pt]{article}
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\headheight 0cm \headsep 0cm \topskip 0cm \footskip 0.5cm
\oddsidemargin 0.2cm \evensidemargin 0.2cm \topmargin 0cm \textwidth
14.5cm \textheight 25.5cm
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Prob}{\mathbb{P}}
\newcommand{\p}{p{0.7cm}}
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
\author{}

\date{}
\begin{document}

\begin{center}
{\bf\huge IA -- Droite de r\'egression} \\
%\footnote{Seconde, ann\'ee 2021--22, M. Varchon}}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Objectif de l'exercice et quelques d\'efinitions}



Le but de cet exercice est de d\'efinir la droite la plus proche d'un ensemble de points. Si on consid\`ere deux points, la droite la plus proche de ces deux points est simplement la droite qui passe par ces deux points. Mais si on consid\`ere $3$ points ou plus qui ne sont pas align\'es, comme dans l'exemple ci-dessous, il n'y a pas, bien s\^ur, de droite qui passe par tout les points. \\


\noindent
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(8,6)
\def\xmin{-12} \def\xmax{16} \def\ymin{-12} \def\ymax{12}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-8,-8)(15,8)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-10,-15)(15,15)
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
%\uput[d](1,0){1}
%\uput[l](0,1){1}

%\def\F{x 2 sub 2 exp 3 sub}
%\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-5}{6}{\F}
%\def\G{x 1 add}
%\psplot[linecolor=gray,linestyle=solid]{-10}{10}{\G}
%\uput[l](4.5,-1){$\mathcal C_f$}
%\uput[l](1.8,3){$\mathcal C_g$}
\def\G{x 0.33 mul 1 add }
%\psline[linecolor=red,linestyle=solid](4,2)(4,5)

\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid]{-10}{10}{\G}
%\uput[l](4.5,-1){$\mathcal C_f$}
\uput[l](9.2,6){\color{blue}$D$}
\uput[ur](2,3){$A$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](2,3)
\uput[l](3,1){$B$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3,1)
\uput[dr](6,4){$C$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](6,4)

\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\medskip

On peut alors chercher la droite qui soit la plus proche des trois points, c'est \`a dire telle que la distance de l'ensemble des points \`a la droite soit minimal. Pour cela, il faut commencer par d\'efinir ce qu'on entend par : {\bf distance d'un ensemble de points \`a une droite}.\\
 

On commence par d\'efinir la {\bf distance d'un point \`a une droite} :\\

\noindent\begin{tabular}{|p{15cm}|}
\hline
\\
\noindent{\bf D\'efinition :} Soit $D$ la droite d'\'equation $y=ax+b$ et $M$ un point de coordonn\'ees $(x;y)$, on d\'efinit la distance du point $M$ \`a la droite $D$, que l'on note $d(M;D)$, par la formule : \\

\begin{eqnarray}
\label{d01}
d(D,M)=[y-(ax+b)]^2
\end{eqnarray}\\
\hline
\end{tabular}
\medskip

 La distance est donc le carr\'e de la diff\'erence entre l'ordonn\'ee du point $M$ et l'ordonn\'ee du point de la droite $(d)$ qui a le m\^eme abscisse que $M$. \\

Sur l'exemple ci-dessous, la distance du point $M(4;5)$ \`a la droite $D$ d'\'equation $y=x-2$ est la longueur au carr\'e du segment en rouge, donc $9$. Comme on peut s'y attendre, la distance du point $N$ \`a la droite $D$ est inf\'erieur (\'egal \`a $1$) car le point $N$ est plus proche de $D$ que le point $M$. Et si un point appartient \`a la droite $D$ alors sa distance \`a la droite $D$ est nulle (vous pouvez le v\'erifier par le calcul avec le point $P(4;2)$).

\noindent
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(10,8)
\def\xmin{-12} \def\xmax{16} \def\ymin{-12} \def\ymax{12}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-8,-8)(15,8)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-10,-15)(15,15)
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
%\uput[d](1,0){1}
%\uput[l](0,1){1}

%\def\F{x 2 sub 2 exp 3 sub}
%\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-5}{6}{\F}
\def\G{x 2 sub}
\psline[linecolor=red,linestyle=solid](4,2)(4,5)

\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid]{-10}{10}{\G}
%\uput[l](4.5,-1){$\mathcal C_f$}
\uput[l](9.2,6){\color{blue}$D$}
\uput[ur](4,5){$M$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](4,5)
\uput[l](4,3){$N$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](4,3)
\uput[dr](4,2){$P$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](4,2)





\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\endpsclip
\end{pspicture*}\\


La distance d'un ensemble $E$ constitu\'e de plusieurs points \`a une droite $D$ est alors d\'efinie comme la somme des distances des points de l'ensemble $E$ \`a la droite $D$. \\

\noindent\begin{tabular}{|p{15cm}|}
\hline
\\
\noindent{\bf D\'efinition :} Si on note $E$ l'ensemble des points $A$, $B$, $C$, $\ldots$ c'est \`a dire $E=\{A,B,C, \ldots\}$, alors la distance de la droite $D$ \`a l'ensemble $E$ que l'on note $d(D,E)$ est d\'efinit par :\\

\begin{eqnarray}
\label{DistanceDE}
d(D,E)=d(D,A)+d(D,B)+d(D,C)+\ldots
\end{eqnarray}\\
\hline
\end{tabular}
\medskip


On d\'efinit alors la droite de r\'egression par :\\

\noindent\begin{tabular}{|p{15cm}|}
\hline
\\
\noindent{\bf D\'efinition :} Soit $E$ un ensemble de points du plan, on appelle {\bf droite de r\'egression} de l'ensemble $E$, la droite telle que la distance de l'ensemble $E$ \`a cette droite soit minimal.\\
\\
\hline
\end{tabular}
\medskip


\noindent{\bf Remarques} 
\begin{enumerate}
\item Un premier travail serait de d\'emontrer qu'une telle droite existe et, est unique. Nous admettrons ce r\'esultat.

\item Il est tout \`a fait possible de d\'efinir d'une autre mani\`ere la distance d'un ensemble de points \`a une droite. On peut, par exemple, consid\`erer la valeur absolue ou une puissance sup\'erieure \`a $2$  \`a la place du carr\'e ou ne pas faire la somme des distances mais consid\`erer la plus grande des distances. Chaque choix d\'efinie une nouvelle distance qui ne donnera peut-\^etre pas la m\^eme droite de r\'egression.
\end{enumerate}

\newpage


\section{Exercice d'application}

\medskip

On consid\`ere les trois points du plan : $A(3;-1)$, $B(5;7)$ et $C(8;2)$ et la droite $D$ d'\'equation $y=x-2$ repr\'esent\'ee dans le rep\`ere ci-dessous : \\




\noindent
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(15,8)
\def\xmin{-12} \def\xmax{16} \def\ymin{-12} \def\ymax{12}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-8,-8)(15,8)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-10,-15)(15,15)
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
%\uput[d](1,0){1}
%\uput[l](0,1){1}

%\def\F{x 2 sub 2 exp 3 sub}
%\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-5}{6}{\F}
%\def\G{x 1 add}
%\psplot[linecolor=gray,linestyle=solid]{-10}{10}{\G}
%\uput[l](4.5,-1){$\mathcal C_f$}
%\uput[l](1.8,3){$\mathcal C_g$}
\def\G{x 2 sub}
%\psline[linecolor=red,linestyle=solid](3,-1)(3,1)
%\psline[linecolor=red,linestyle=solid](5,7)(5,3)
%\psline[linecolor=red,linestyle=solid](8,2)(8,6)

\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid]{-10}{10}{\G}
%\uput[l](4.5,-1){$\mathcal C_f$}
\uput[l](9.5,6.5){\color{blue}$D$}
\uput[ur](3,-1){$A$}
\uput[ur](5,7){$B$}
\uput[ur](8,2){$C$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3,-1)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](5,7)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](8,2)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\endpsclip
\end{pspicture*}\\


\medskip



\begin{enumerate}
%\item Placer ces trois points dans le rep\`ere ci-dessus et tracer la droite $D$.
\item D\'eterminer graphiquement puis par le calcul $d(A;D)$;  $d(B;D)$ puis $d(C;D)$. 
\item En d\'eduire $d(E;D)$ la distance de l'ensemble $E$ \`a la droite $D$.
\item D\'eterminer soit graphiquement, soit par le calcul, $d(E;(AC))$. 
\item Tracer une droite qui vous semble plus proche de l'ensemble $E$, d\'eterminer alors la distance de l'ensemble $E$ \`a cette nouvelle droite. Avez-vous trouver une droite plus proche de $E$ que la droite $D$ ou la droite $(AC)$ ? 
\item A la calculatrice, creer un programme qui prend en entr\'ee $(a;b)$ le coefficient directeur et l'ordonn\'ee \`a l'origine d'une droite et qui renvoie la distance de cette derni\`ere \`a l'ensemble de points $E$. (Ce programme permettra de tester rapidement plusieurs droites) 
\end{enumerate}


\end{document}
\newpage


\medskip

\section{Pour le professeur}


Une suite possible de l'exercice consisterait \`a construire un algorithme qui permette de d\'eterminer la droite de r\'egression. Bien s\^ur il existe une formule qui donne l'equation de cette droite, mais en intelligence artificielle, la fonction recherch\'ee n'est pas une droite mais une fonction fortement non lin\'eaire issue d'un r\'eseau de neurones et sa recherche est algorithmique.   \\

\noindent{\bf Proposition d'algorithme}\\
  
Ci-dessous  une proposition d'algorithme \'ecrit en langage naturel, les points de l'ensemble $E$ sont situ\'es dans le carr\'e $[0;10]\times [0;10]$. En deuxieme partie de l'algoritme, on d\'efinit la fonction co\^ut $C(a;b)$\\
   
\begin{tabular}{|l|}
\hline
X=liste des abscisses des points de l'ensemble E\\
Y=liste des ordonn\'ees des points de l'ensemble E\\
Choisir un pas $e$ (par exemple $e=0.1$)\\
Donner \`a $a$ et \`a $b$ une valeur al\'eatoire comprise entre $-10$ et $10$\\
$C$ prend la valeur $C(a;b)$\\
Choisir un nombre d'iteration $n$\\
{\bf Pour $i$ de $1$ \`a $n$}\\
\hspace{1cm} $Cplus$ prend la valeur $C(a+e;b)$\\
\hspace{1cm} Si $Cplus<C$ alors $a$ prend la valeur $a+e$\\
\hspace{1cm} Sinon $a$ prend la valeur $a-e$\\
\hspace{1cm} $C$ prend la valeur $C(a;b)$\\
\hspace{1cm} $Cplus$ prend la valeur $C(a;b+e)$\\
\hspace{1cm} Si $Cplus<C$ alors $b$ prend la valeur $b+e$\\
\hspace{1cm} Sinon $b$ prend la valeur $b-e$\\
\hspace{1cm} $C$ prend la valeur $C(a;b)$\\
{\bf Fin du pour}\\
\\
{\bf fonction co\^ut :}\\
D\'efinir la fonction $C(a;b)$ ({\color{gray} Elle doit prendre en entr\'ee $(a;b;X;Y)$)}\\
\hspace{1cm} $m$ prend comme valeur la longueur de la liste $X$\\
\hspace{1cm} $C$ prend la valeur z\'ero\\
\hspace{1cm}{\bf Pour $i$ de $1$ \`a $m$}\\
\hspace{2cm}$C$ prend la valeur $C+[Y[i]-(aX[i]+b)]^2$\\
\hspace{1cm}{\bf Fin du pour}\\
\hspace{1cm} retourner $C$\\
\hline
\end{tabular}\\

\medskip

\noindent{\bf Quelques d\'eveloppements possibles :}

\begin{itemize}
\item Faire varier le pas (c'est m\^eme indispensable pour que l'algorithme fonctionne. On peut, par exemple, le diviser par deux lorsque la diff\'erence entre deux co\^uts \`a deux it\'erations successives devient trop faible (par exemple, inf\'erieure \`a $10^{-4}$).
\item R\'eflechir au crit\`ere d'arr\^et de la boucle. L\`a aussi un crit\`ere peut \^etre la stabilisation du co\^ut. 
%\item Entrer un nombre de points et leur coordonn\'ee en debut de programme.
\item Faire tracer la droite au fur et \`a mesure des it\'erations.
\item Apprendre \`a tester son algorithme sur des exemples dont on peut d\'eterminer le r\'esultat \`a l'avance pour valider l'algorithme.
\end{itemize}

\end{document}

\noinent{Objectif de l'execice}

Cette exercice peut etre aborder lorsque les fonctions affines et les equations r\'eduites de droite ont \'et\'e abord\'es. Il permet de retravailler les \'equations de droites (signification, d\'etermination) ainsi que le lien entre \'equations r\'eduite et fonction affine (condition pour q'un point appartienne \`a une droite, \`a la courbe d'une fonction). Il est en lien avec l'intelligence artificielle car il s'agit de trouver une fonction (ici une fonction tr\`es simple) qui pr\'edise avec un minimum d'erreur le r\'esultat sur un ensemble d'exemple, l'ensemble $E$. Il peut permettre aux \'el\`eves de s'interroger sur la notion de "proches" pour des objets (courbe, ensemble de points) complexes et de voir l'interet de l'ordinateur qui permet d'accelerer la recherche d'un optimum. En fonction du temps impartie et des facilit\'es des \'el\`eves, on peut esp\'erer que certains developpe des strat\'egie de recherche de la droite optimal , en modifiant les param\`etre par petit pas dans une direction qui fasse d\'ecroitre la distance de la droite \`a l'ensemble de point. (Il faudra pour cela certainement donner davantage de temps. 







 On cherche la doite qui soit la plus proche des trois points $A$, $B$, $C$ c'est \`a dire les deux nombres $a$ et $b$   On d\'efinit la fonction $L(a;b)$ qui donne la distance de la droite $(d)$ auc trois points $A$, $B$ et $C$ par  

$$L(a;b)=(


$$L(a;b)=[4-f(1)]^2+ [5-f(3)]^2+[2-f(4)]^2$$

\begin{enumerate}
\item Est-il possible que $L(a;b)$ soit n\'egatif ?
\item Est-il possible que $L(a;b)$ soit nul?
\item Calculer $L(a;b)$ pour la droite $(AB)$ puis pour la droite $(AC)$
\item Tracer dans un rep\`ere une droite qui vous semble passer au plus pr\`es des trois points $A$, $B$, $C$. Par lecture graphique, d\'eterminer $a$ et $b$ de cette droite puis calculer $L(a;b)$. Avez-vous fait mieux ? c'est \`a dire, avez-vous obtenue une erreur plus petite qu'avec les droitse $(AB)$ et $(AC)$ (vous pouvez comparer avec les autres groupes).
\end{enumerate}











\noindent{\bf Exemple} : soit $(d)$ la droite d\'equation $2x+3y-21=0$ de vecteur normale $\vec{n}(2;3)$. On choisit le point $A(3;2)\in (d)$. Le point $B$ a alors pour coordonn\'ees $(6;8)$. 

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(10,10)
\def\xmin{-1} \def\xmax{10} \def\ymin{-1} \def\ymax{10}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4,-4)(10,10)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(10,10)
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}




\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psline[linecolor=red](-2,9)(10,1)
\pcline[linecolor=blue, linewidth=1pt]{->}(4,5)(6,8)


\uput[dl](4,5){$A$}
\uput[l](5,6.5){$\color{blue}\vec{n}$}
\uput[dr](6,8){$B$}
\uput[d](9,1.5){$\color{red} (d)$}

\uput[ul](2,2){$\color{green} (P^-)$}
\uput[ul](8,8){$\color{green} (P^+)$}

\uput[dl](8,6){$M$}
\pcline[linecolor=black, linewidth=1pt]{->}(4,5)(8,6)

\endpsclip
\end{pspicture*}\\



Pour une d\'efinition rigoureuse des demi-plan $P^+$ et $P^-$.
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point quelconque du plan n'appartenant pas \`a la droite $(d)$. Donner sans d\'emonstration une condition n\'ecessaire et suffisante concernant le segment $[BM]$ qui permettrait de d\'ecider si le point  $M$ appartient \`a $P^+$.
\item Donner sans d\'emonstration une condition n\'cessaire et suffisante concernant l'angle entre les vecteurs $\vect{AM}$ et $\vec{n}$ qui permette de d\'ecider si le point $M$ appartient \`a $P^+$, et faire de m\^eme pour $P^-$

\item Soit un point $M$ de coordonn\'ees $(x;y)$, d\'emontrer que $$\vect{AM}\cdot\vec{n}=ax+by+c.$$
\item En d\'eduire les deux \'equivalence suivantes :
\begin{eqnarray}
M(x;y)\in P^+\longleftrightarrow ax+by+c>0\\
M(x;y)\in P^-\longleftrightarrow ax+by+c<0
\end{eqnarray}


D\'eterminer un moyen simple pour savoir si tous les points sont dans la meme region du plan


On consid\`ere la fonction $H$ d\'efinit sur $\mathbb R$ par
\begin{eqnarray}
H(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
-1 & \rm si &x<0\\
0  & \rm si & x=0\\
1 & \rm si & x>0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

\begin{enumerate}
\item Tracer le courbe de la fonction $H$ sur l'intervalle $[-5;5]$. Cette fonction est-elle continue ?
\item D\'emontrer que 
\begin{eqnarray}
M(x;y)\in P^+\equi H(ax+by+c)=1\\
M(x;y)\in P^-\longleftrightarrow H(ax+by+c)=-1
\end{eqnarray}


\end{enumerate}
Soit $M_1(x_1;y_1);\ldots;P_n$ un ensemble de $n$ points. Soit $p$ un entier compris entre $1$ et $n$. On consid\`ere la fonction $C$ qui a cet ensemble de points associe le nombre :
\begin{eqnarray}
C=\sum\limits_{i=1}^p |H(ax_i+by_i+c)-1|^2+ \sum\limits_{i=P+1}}^n |H(ax_i+by_i+c)+1|^2
\end{eqnarray}
D\'emontrer que 
\begin{enumerate}
\item Si $a$ et $b$ sont deux nombre r\'eels, $a^2+b^2=0$ si et seulement si $a=0$ et $b=0$
\item pour tout ensemble de $n$ points, $C\geq 0$
\item $C=0$ si et seulement si $M_i\in P^+$ pour tout $i$ compris entre $1$ et $p$ et $M_i\in P^-$ pour tout $i$ compris entre $p+1$ et $n$
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4)
\def\xmin{-1} \def\xmax{12} \def\ymin{-1} \def\ymax{10}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4,-4)(8,8)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
%%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(12,12)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}




\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,3)(3,3)
\psline(3,3)(3,0)
\psline(3,0)(0,0)
\uput[dl](0,0){$A$}
\uput[dr](3,0){$B$}
\uput[ur](3,3){$C$}
\uput[ul](0,3){$D$}





\endpsclip
\end{pspicture*}\\

\begin{enumerate}
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{AB}$
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{BA}$
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{AC}$
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{CD}$
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{AC}$
\item Calculer $\vect{CD}\cdot\vect{DB}$
\item Calculer $\vect{CD}\cdot\vect{BA}$
\item Calculer $\vect{AC}\cdot\vect{DB}$

\end{enumerate}

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{multicols}{2}
\noindent{\bf Exercice 2}\\
Soit $ABCD$ un rectangle de longeur $AB=3$ et de largeur $AD=2$. Soit $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[CD]$


\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6,4)
\def\xmin{-1} \def\xmax{12} \def\ymin{-1} \def\ymax{10}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4,-4)(8,8)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
%%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(12,12)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}




\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psline(0,2)(0,0)
\psline(0,2)(3,2)
\psline(3,2)(3,0)
\psline(3,0)(0,0)
\uput[dl](0,0){$A$}
\uput[dr](3,0){$B$}
\uput[ur](3,2){$C$}
\uput[ul](0,2){$D$}
\uput[d](1.5,0){$I$}
\uput[u](1.5,2){$J$}
\psdots[dotstyle=+, dotscale=1.0000](1.5,0)
\psdots[dotstyle=+, dotscale=1.0000](1.5,2)


\endpsclip
\end{pspicture*}\\

\begin{enumerate}
\item Calculer $\vect{IA}\cdot\vect{IB}$
\item Calculer $\vect{AJ}\cdot\vect{AB}$
\item Calculer $\vect{CD}\cdot\vect{IJ}$
\item Calculer $\vect{IC}\cdot\vect{DC}$
\item Calculer $\vect{BA}\cdot\vect{BD}$
\item Calculer $\vect{IC}\cdot\vect{ID}$

\end{enumerate}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{multicols}{2}
\noindent{\bf Exercice 3}\\

Soit $ABCD$ le trap\`eze dans le rep\`ere ci-dessous 

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6.5,4)
\def\xmin{-1} \def\xmax{12} \def\ymin{-1} \def\ymax{14}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4,-4)(8,8)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-1)(20,12)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}




\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}


\psline(1,1)(6,1)
\psline(6,1)(4,3)
\psline(4,3)(2,3)
\psline(2,3)(1,1)
\uput[dl](1,1){$A$}
\uput[dr](6,1){$B$}
\uput[ur](4,3){$C$}
\uput[ul](2,3){$D$}




\endpsclip
\end{pspicture*}\\
\begin{enumerate}
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{AD}$
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{AC}$
\item Calculer $\vect{CD}\cdot\vect{IJ}$
\item Calculer $\vect{BD}\cdot\vect{AB}$
\item Calculer $\vect{AD}\cdot\vect{AC}$
\item Calculer $\vect{CB}\cdot\vect{CA}$

\end{enumerate}

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent{\bf Exercice 4} Soit $A$ et $B$ deux points du plan tel que $AB=1$, soit $I$ le milieu de $[AB]$ et $\Delta$ la m\'ediatrice du segment $[AB]$. Soit $M$ et $N$ deux points quelconque appartenant  \`a $\Delta$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{AI}$
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{AM}$
\item Calculer $\vect{AB}\cdot\vect{IM}$
\item Calculer $\vect{MN}\cdot\vect{BA}$
\item Calculer $\vect{AM}\cdot\vect{AN}$

\end{enumerate}


\end{document}









\begin{enumerate}
\item[a.] $\vect{AB}-\vect{DC}+\vect{DA}+\vect{BC}=\vec{0}$
\item[b.] $\vect{AF}=2(\vect{MA}-\vect{MF})+3\vect{AF}$
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent{\bf Exercice 4} Soit $A$ et $B$ deux points distincts. Soit $G$ le point tel que. 
$$\vect{GA}+2\vect{GB}=\vect{0}$$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que pour tout point $M$, $3\vect{MG}=\vect{MA}+2\vect{MB}$. 
\item D\'emontrer que $\vect{AG}=\displaystyle\frac{1}{3}\vect{AB}$. 
\end{enumerate}




\noindent{\bf Exercice 5} Soit $ABCD$ un parall\'elogramme non plat (les quatres points $A$, $B$, $C$, $D$ ne sont pas confondus). Soit un point $E$ tel que $\vect{BE}=\vect{AB}$, et soit $P$ et $Q$ deux points tels que $\vect{AP}=3\vect{AD}$ et $\vect{CQ}=2\vect{BC}$ 
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $BECD$ est un parall\'elogramme.
\item D\'emontrer que $\vect{BQ}=3\vect{BC}$.
\item En d\'eduire que $ABQP$ est un parall\'elogramme, puis que $BEQP$ est aussi un parall\'elogramme.
\item Soit $I$ le milieu de $[DP]$, d\'emontrer que $DBEI$ n'est pas un parall\'elogramme
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent{\bf Exercice 6} Soit $ABCD$ un parall\'elogramme et $O$ le point d'intersection de ses diagonales. On appelle $P$ le transform\'e de $O$ par la translation de vecteur $\vect{AB}$.  
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $ABPO$ est un parall\'elogramme.
\item D\'emontrer que $\vec{OC}=\vec{BP}$, en d\'eduire que $OBPC$ est un parall\'elogramme. 
\end{enumerate}

\noindent{\bf Exercice 7}
Soit $ABC$ une triangle quelconque et $F$ le milieu de $[BC]$. On consid\`ere $E$ et $K$ tels que $\vect{AE}=\frac{3}{4}\vect{AB}$ et $\vect{CK}=-\frac{1}{2}\vect{CA}$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $2\vect{AF}=\vect{AB}+\vect{AC}$.
\item D\'emontrer que $\vect{EK}-3\vect{EF}=\vec{0}$.
\item En d\'eduire que les points $E$, $F$, $K$ sont align\'es.
\item Soit le point $L$ tel que $\vect{AL}=\frac{3}{4}\vect{AC}$. D\'emontrer que $(EL)$ est parall\`ele \`a $(BC)$
\end{enumerate}



\end{document}
\subsection{\bf Deux points}
\medskip

Soit les deux points du plan $A(1;4)$ et $B(3;5)$.
\begin{enumerate}
\item Dans le repere orthonor\'e ci-dessous, placer les deux points $A$ et $B$ puis tracer la droite qui vous semble passer au pus pr\`es de ces deux points.
\item D\'eterminer l'equation r\'eduite de cette droite.
\end{enumerate}\bigskip

\noindent
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(15,8)
\def\xmin{-12} \def\xmax{16} \def\ymin{-12} \def\ymax{12}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-8,-8)(15,8)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-10,-15)(15,15)
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[d](1,0){1}
\uput[l](0,1){1}

%\def\F{x 2 sub 2 exp 3 sub}
%\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-5}{6}{\F}
%\def\G{x 1 add}
%\psplot[linecolor=gray,linestyle=solid]{-10}{10}{\G}
%\uput[l](4.5,-1){$\mathcal C_f$}
%\uput[l](1.8,3){$\mathcal C_g$}



%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\medskip
